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解：​$(1)$​设乙距山脚的垂直高度​$y$​与时间​$x$​之间的函数表达式为​$y = kx + b(k\neq 0)$​
把​$(15，$​​$0)$​和​$(40，$​​$300)$​代入可得​$\begin {cases}15k + b = 0\\40k + b = 300\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{k = 12}\\{b=-180}\end {cases}$​
∴乙距山脚的垂直高度​$y$​与时间​$x$​之间的函数表达式为​$y = 12x - 180$​
​$ (2)$​当​$25\leqslant x\leqslant 60$​时，设甲距山脚的垂直高度​$y$​与时间​$x$​之间的
函数表达式为​$y = mx + n(m\neq 0)$​
将​$(25，$​​$160)$​和​$(60，$​​$300)$​代入可得​$\begin {cases}160 = 25\ \mathrm {m} + n\\300 = 60\ \mathrm {m} + n\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{m = 4}\\{n = 60}\end {cases}$​
∴​$y = 4x + 60$​
当乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时，
有​$\begin {cases}y = 12x - 180\\y = 4x + 60\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x = 30}\\{y = 180}\end {cases}$​
∴乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为​$180$​米。
解：​$(1)$​联立方程组​$\begin {cases}y=\frac 34x\\y =-x + 7\end {cases}，$​解得​$\begin {cases}{x = 4}\\{y= 3}\end {cases}$​
∴点​$A$​的坐标为​$(4，$​​$3)$​
​$ (2)$​过点​$A$​作​$x$​轴的垂线，垂足为​$D$​
由​$(1)$​得​$A(4，$​​$3)，$​∴​$OD = 4，$​​$AD = 3$​
在​$Rt\triangle OAD$​中，由勾股定理，得​$OA=\sqrt {OD^2+AD^2}=\sqrt {4^2+3^2} = 5$​
∵​$BC=\frac 75OA，$​∴​$BC=\frac 75×5 = 7$​
∵点​$P $​的坐标为​$(a，$​​$0)$​
∴点​$B$​的坐标为​$(a，$​​$\frac 34a)，$​点​$C$​的坐标为​$(a，$​​$-a + 7)$​
∴​$BC=\frac 34a-(-a + 7)=\frac 34a+a - 7=\frac 74a - 7$​
∴​$\frac 74a - 7 = 7，$​解得​$a = 8，$​即​$OP = 8$​
∴​$S_{\triangle OBC}=\frac 12BC·OP=\frac 12×7×8 = 28$​
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