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$\frac{15}{4}$
$\sqrt{10}$
解：∵四边形​$ABCD$​是长方形，​$AB = 8，$​​$AD = 12$​
∴​$DC = AB = 8，$​​$BC = AD = 12$​
∵四边形​$ABEF $​是正方形
∴​$BE = EF = AB = 8，$​​$∠BEF = 90°$​
在​$Rt\triangle MEF $​中，由勾股定理，得​$EM^2+EF^2=FM^2$​
设​$BM = x，$​则​$EM = 8 - x$​
∵​$MN$​是折痕，∴​$FM = CM，$​∴​$FM = CM = 12 - x$​
∴​$(8 - x)^2+8^2=(12 - x)^2，$​解得​$x = 2$​
∴​$BM$​的长为​$2$​
​$ (1)$​解：相等。证明：
∵​$CD\perp AB，$​​$BE\perp AC，$​∴​$∠BDC=∠CDA=∠BEA = 90°$​
∴​$∠A+∠DCA = 90°，$​​$∠A+∠ABE = 90°，$​∴​$∠ABE=∠DCA$​
又∵​$∠ABC = 45°，$​∴易得​$∠BCD=∠ABC = 45°，$​∴​$DC = DB$​
在​$\triangle DBH$​和​$\triangle DCA$​中
​$\begin {cases}∠DBH=∠DCA \\DB = DC\\∠BDH=∠CDA\end {cases}$​
∴​$\triangle DBH≌\triangle DCA(AS A)，$​∴​$BH = CA$​
​$ (2)$​证明：如图，连接​$CG$​
∵​$F $​为​$BC$​的中点，​$DB = DC，$​∴​$DF $​垂直平分​$BC，$​∴​$BG = CG$​
∵​$BE\perp AC，$​∴​$∠BEA=∠BEC = 90°$​
在​$\triangle ABE$​和​$\triangle CBE$​中
​$\begin {cases}∠ABE=∠CBE \\BE = BE\\∠BEA=∠BEC\end {cases}$​
∴​$\triangle ABE≌\triangle CBE(AS A)，$​∴​$EA = EC$​
∵在​$Rt\triangle CGE$​中，由勾股定理，得​$CG^2-GE^2=EC^2$​
∴​$BG^2-GE^2=EA^2$​
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