解:$(1)$∵函数$y=(2\ \mathrm {m} + 6)x + m - 3$是正比例函数
∴$m - 3 = 0$且$2\ \mathrm {m} + 6\neq 0$
由$m - 3 = 0,$得$m = 3$
$2\ \mathrm {m} + 6=2×3 + 6 = 12\neq 0,$∴$m = 3$
$(2)$∵$m = 3,$∴$2\ \mathrm {m} + 6 = 2×3 + 6 = 12>0$
∴$y$随$x$的增大而增大
∵点$(a,$$y_{1}),$$(a + 1,$$y_{2})$在该函数的图象上,且$a<a+1$
∴$y_{1}<y_{2}$