证明：$(1)$延长$I C，$交$BE$于点$J，$分别过$A，$$D$
两点作直线$I C$的垂线，垂足分别为$M，$$N$
则$∠M=∠DNC=∠DNI = 90°$
∵$I C\perp BE$
∴$∠CJB=∠CJE = 90°，$
即$∠M=∠CJB，$$∠DNC=∠CJE$
∵$\triangle ABC$为等腰直角三角形，$∠ACB = 90°$
∴$AC = CB，$$∠ACM+∠BCJ = 180°-∠ACB = 90°$
又$∠CBJ+∠BCJ = 90°$
∴$∠CBJ=∠ACM$
在$\triangle ACM$和$\triangle CBJ$中
$\begin {cases}∠M=∠CJB \\∠ACM=∠CBJ \\AC = CB\end {cases}$
∴$\triangle ACM\c 0ng\triangle CBJ(\mathrm {AAS})$
∴$AM = CJ$
同理，得$DN = CJ，$∴$AM = DN$
在$\triangle AMI $和$\triangle DNI $中
$\begin {cases}∠M=∠DNI \\∠AlM=∠DIN \\AM = DN\end {cases}$
∴$\triangle AMI≌\triangle DNI(\mathrm {AAS})$
∴$Al = DI，$即$I $为$AD$的中点
$(2)$延长$Cl$至点$F，$使$IF = I C，$连接$AF$
在$\triangle AlF $和$\triangle DI C$中
$\begin {cases}Al = DI \\∠AlF=∠DI C \\IF = I C\end {cases}$
∴$\triangle AlF≌\triangle DI C(S AS)$
∴$AF = DC，$$∠F=∠DCl$
∴$∠ACD=∠ACF+∠DCl$
$=∠ACF+∠F = 180°-∠F AC$
∵$\triangle ACB$和$\triangle DCE$都是等腰直角三角形，
$∠ACB=∠DCE = 90°$
∴$AC = CB，$$CE = DC，$∴$AF = CE$
又$∠ACD = 360°-∠ACB-∠DCE-∠ECB $
$= 180°-∠ECB$
∴$∠F AC=∠ECB$
在$\triangle F AC$和$\triangle ECB$中
$\begin {cases}AF = CE \\∠F AC=∠ECB \\AC = CB\end {cases}$
∴$\triangle F AC≌\triangle ECB(S AS)$
∴$∠ACF=∠CBE$
延长$I C，$交$BE$于点$K$
则$∠ACF+∠BCK = 180°-∠ACB = 90°$
∴$∠CBE+∠BCK = 90°$
∴$∠CKB = 180°-(∠CBE+∠BCK)=90°，$
即$I C\perp BE$
