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解：​$(1)$​由图得正方形​$ABCD$​的面积为​$16 - 4×\frac 12×1×3 = 10$​
∴正方形​$ABCD$​的边长为​$\sqrt {10}$​
∵​$\sqrt 9＜\sqrt {10}＜\sqrt {16}，$​∴​$3＜\sqrt {10}＜4$​
∴​$\sqrt {10}$​在​$3$​与​$4$​之间
​$ (2)$​由​$(1)$​得正方形​$ABCD$​的边长为​$\sqrt {10}，$​且​$3＜\sqrt {10}＜4$​
则​$x = 3，$​​$y=\sqrt {10}-3$​
∴​$(y - \sqrt {10})^x=(\sqrt {10}-3-\sqrt {10})^3=(-3)^3=-27$​
​$ (3)①$​∵点​$A$​表示的数为​$1，$​正方形​$ABCD$​的边长为​$\sqrt {10}$​
∴点​$P $​表示的数为​$1+\sqrt {10}$​
②不存在。理由如下：
​$ $​假设存在正整数​$n，$​则​$n×\sqrt {10}+1 = 2025$​
∴​$\sqrt {10}n = 2024，$​即​$\sqrt {10}=\frac {2024}{n}$​
∵​$n$​为正整数，∴​$\frac {2024}{n}$​为有理数
​$ $​又​$\sqrt {10}$​为无理数，∴等式不成立，即不存在正整数​$n，$​使得
该正方形​$n$​次翻滚后，其顶点​$A，$​​$B，$​​$C，$​​$D$​中的某个点与​$2025$​重合
解：​$(1)PN = 2BM。$​证明如下：
如图①，过点​$P $​作​$PF// AC，$​分别交​$BC，$​​$BD$​于​$F，$​​$E$​两点
则​$∠PF B=∠C，$​​$∠BPE=∠A = 45°$​
∵​$BD\perp AC，$​∴​$PF\perp BD$​
∴​$∠BEP=∠BEF = 90°$​
∴​$∠P BE = 90°-∠BPE = 45°，$​即​$∠P BE=∠BPE$​
∴​$BE = PE$​
∵​$PM\perp BC，$​∴​$∠PMB = 90°。$​
∴​$∠BNM+∠EBF=∠PNE+∠EPN = 90°$​
​$ $​又​$∠BNM=∠PNE，$​∴​$∠EBF=∠EPN$​
​$ $​又​$∠PEN=∠BEF = 90°，$​∴​$\triangle PEN≌\triangle BEF(AS A)$​
∴​$PN = BF$​
∵​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C$​
∴​$∠ABC=∠PF B$​
∴​$P B = PF$​
∵​$PM\perp BF，$​∴​$BF = 2BM$​
∴​$PN = 2BM$​
​$ (2)$​成立。证明如下：
如图②，过点​$P $​作​$PF// AC，$​交​$CB$​的延长线于点​$E，$​
交​$DB$​的延长线于点​$F，$​则​$∠E=∠C，$​​$∠BPF=∠A = 45°$​
∵​$PM\perp BC，$​∴​$∠BMN = 90°$​
∵​$BD\perp AC，$​∴​$∠ADB = 90°，$​​$BD\perp PF，$​
即​$∠BFE=∠BFP = 90°，$​​$∠ABD = 90°-∠A = 45°$​
∴​$∠P BF=∠ABD = 45°$​
∴​$∠P BF=∠BPF$​
∴​$BF = PF$​
∵​$∠EBF+∠BNM=∠NPF+∠PNF = 90°，$​
且​$∠BNM=∠PNF，$​∴​$∠EBF=∠NPF$​
​$ $​又​$∠BFE=∠PFN，$​∴​$\triangle BFE≌\triangle PFN(AS A)$​
∴​$BE = PN$​
∵​$AB = AC，$​∴​$∠ABC=∠C$​
∴​$∠E=∠ABC$​
​$ $​又​$∠ABC=∠P BE，$​∴​$∠E=∠P BE$​
∴​$PE = P B$​
∵​$PM\perp EB，$​∴​$BE = 2BM$​
∴​$PN = 2BM$​
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