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解：​$(1)\triangle ABC$​是直角三角形，理由如下：
由题意，得​$AC = 10×1 = 10(\mathrm {km})$​
又​$AD = 2\ \mathrm {km}，$​∴​$CD = AC - AD = 8\ \mathrm {km}$​
∵​$BD\perp AC，$​∴​$∠BDA=∠BDC = 90°$​
在​$Rt\triangle BDA$​和​$Rt\triangle BDC$​中，​$BD = 4\ \mathrm {km}$​
由勾股定理，得​$AB^2=AD^2+BD^2=2^2+4^2=20\ \mathrm {km}^2，$​
​$BC^2=BD^2+CD^2=4^2+8^2=80\ \mathrm {km}^2$​
又​$AC^2=10^2=100\ \mathrm {km}^2$​
∴​$AB^2+BC^2=AC^2，$​即​$\triangle ABC$​是直角三角形
​$ (2)$​不存在，理由如下：由题意，得​$CM = t\mathrm {km}$​
∵​$N$​是​$CM$​的中点，∴​$CN=\frac 12CM=\frac 12\ \mathrm {t}\mathrm {km}$​
由​$(1)，$​得​$CD = 8\ \mathrm {km}，$​​$∠BDA=∠BDC = 90°$​
则​$DN = CD - CN=(8 - \frac 12\ \mathrm {t})\mathrm {km}，$​​$MD = CM - CD=(t - 8)\mathrm {km}$​
∵​$BM = BN，$​​$BD\perp AC$​
∴​$MD = DN，$​即​$t - 8 = 8 - \frac 12\ \mathrm {t}，$​解得​$t=\frac {32}3$​
∵​$0＜t\leqslant 10，$​且​$\frac {32}3＞10$​
∴不存在​$t $​的值，使得​$BM = BN$​
解：​$(1)$​猜想：​$P A = Q C，$​证明如下：
∵​$\triangle ABC$​是等边三角形，∴​$AB = CB，$​​$∠ABC = 60°$​
又​$∠P BQ = 60°，$​∴​$∠ABC=∠P BQ$​
∴​$∠ABC - ∠P BC=∠P BQ - ∠P BC，$​即​$∠ABP=∠CBQ$​
∵​$P B = Q B，$​∴​$\triangle ABP≌\triangle CBQ(S AS)$​
∴​$P A = Q C$​
​$ (2)\triangle PQ C$​是直角三角形，理由如下：
∵​$P A∶P B∶P C = 3∶4$​：​$5$​
∴可设​$P A = 3a，$​​$P B = 4a，$​​$P C = 5a(a＞0)$​
∵​$Q B = P B，$​且​$∠P BQ = 60°，$​∴​$\triangle P BQ $​是等边三角形
∴​$PQ = P B = 4a$​
由​$(1)，$​得​$Q C = P A，$​则​$Q C = 3a$​
在​$\triangle PQ C$​中，​$PQ^2+Q C^2=16a^2+9a^2=25a^2=P C^2$​
∴​$\triangle PQ C$​是直角三角形
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