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解：连接$PA。$因为直线$l$是边$AB$的垂直平分线，所以$PA = PB。$所以$PB + PD = PA + PD\geqslant AD，$即当点$P$在高$AD$上时，$PB + PD$的值最小，且最小值为$AD$的长。又$PB + PD$的最小值为$4，$所以$AD = 4。$又$\triangle ABD$的面积为$6，$且$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AD\cdot BD，$所以$\frac{1}{2}\times4\cdot BD = 6，$解得$BD = 3。$又$CD - BD = 3，$所以$CD = 6，$即$BC = BD + CD = 9。$所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AD\cdot BC = 18。$

$130^{\circ}$
解：​$(1)$​补全图形如图所示
​$(2)∠BAD+∠BCD = 180°，$​证明如下：
如图，过点​$D$​分别作​$DE\perp AB$​于点​$E，$​​$DF\perp BC，$​
交​$BC$​的延长线于点​$F，$​则​$∠AED=∠CF D = 90°$​
∵​$BD$​平分​$∠ABC，$​∴​$DE = DF$​
∵直线​$l$​垂直平分​$AC，$​∴​$DA = DC$​
∴​$Rt\triangle ADE≌ Rt\triangle CDF(\mathrm {HL})$​
∴​$∠BAD=∠F C$​
∵​$∠F CD+∠BCD = 180°$​
∴​$∠BAD+∠BCD = 180°$​
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