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​$ (1)$​证明：∵​$AB// CD，$​∴​$∠ABE=∠CDF$​
∵​$AE// CF，$​∴​$∠AEB=∠CF D$​
​$ $​又​$BE = DF，$​∴​$\triangle ABE≌\triangle CDF(AS A)$​
​$ (2)$​解：​$AF = CE，$​理由如下：
​$ $​由​$(1)，$​得​$\triangle ABE≌\triangle CDF，$​​$∠ABE=∠CDF，$​∴​$AB = CD$​
∵​$DF = BE，$​∴​$DF - EF = BE - EF，$​即​$DE = BF$​
∴​$\triangle ABF≌\triangle CDE(S AS)，$​∴​$AF = CE$​
$EF=\frac{1}{2}BC$
证明：​$(1)$​∵​$l$​是​$AB$​的垂直平分线，∴​$DA= DB$​
∵​$DB=DC，$​∴​$DA=DC，$​∴​$∠CAD=∠ACD$​
​$(2)①$​∵​$AC=AB，$​∴​$∠ABC= ∠ACB$​
∵​$DB = DC，$​∴​$∠DBC=∠DCB$​
∴​$∠ACB−∠DCB=∠ABC−∠DBC，$​即​$∠ACD=∠ABD$​
∴​$∆ACD≌ ∆ABD(S AS)$​
∴​$∠CAD=∠BAD，$​∴​$F $​是​$BC$​的中点
解：​$(1)$​∵​$AC = AF，$​∴​$∠ACF=∠AF C$​
​$ $​又​$∠CAF=α，$​​$∠ACF+∠AF C+∠CAF = 180°$​
∴​$∠AF C=∠ACF=\frac 12(180°-∠CAF)=90°-\frac 12α$​
​$ (2)$​由题意，得​$∠BAC=∠ACB = 60°，$​​$AB = BC = AC = AF$​
∴​$∠AF B=∠ABF=\frac 12(180°-∠BAF)=\frac 12(180°-∠BAC-∠CAF)$​
​$=90°-\frac 12∠BAC-\frac 12∠CAF=60°-\frac 12∠CAF$​
​$ $​由​$(1)$​得​$∠AF C=∠ACF=\frac 12(180°-∠CAF)=90°-\frac 12∠CAF$​
∴​$∠GFH=∠AF C-∠AF B=90°-\frac 12∠CAF-(60°-\frac 12∠CAF)=30°$​
​$ (3)$​如图，连接​$BG，$​​$CH，$​过点​$C$​作​$CM\perp BF $​于点​$M$​
​$ $​由​$(2)$​得​$∠ACB = 60°，$​​$∠GFH = 30°，$​​$AB = BC = AC = AF，$​且​$AH\perp BF$​
∴​$GH=\frac 12FG，$​​$∠FGH = 90°-∠GFH = 60°$​
∵​$C$​为​$GF $​的中点，∴​$CH = CF = CG=\frac 12GF，$​即​$GH = CG = CH$​
∴​$\triangle CGH$​为等边三角形。∴​$∠G CH=∠ACB = 60°$​
∴​$∠G CH-∠BCH=∠ACB-∠BCH，$​即​$∠G CB=∠HCA$​
∴​$\triangle G CB≌\triangle HCA(S AS)，$​∴​$AH = BG$​
​$ $​设​$GH = CG = CH = CF = a，$​则​$GF = 2a$​
∵​$AB = AF，$​​$AH\perp BF，$​∴​$AG $​垂直平分​$BF$​
∴​$BG = GF = 2a，$​即​$AH = BG = 2a$​
同理，得​$CM=\frac 12CF=\frac 12a$​
∵​$S_{\triangle ADH}=\frac 12\ \mathrm {A}H·DH，$​​$S_{\triangle CDH}=\frac 12CM·DH，$​
∴​$\frac {S_{\triangle ADH}}{S_{\triangle CDH}}=\frac {\frac 12\ \mathrm {A}H·DH}{\frac 12CM·DH}=\frac {AH}{CM}=4$​
同理，得​$\frac {S_{\triangle ADH}}{S_{\triangle CDH}}=\frac {AD}{CD}，$​则​$\frac {AD}{CD}=4$​
∵​$CD = 1.5，$​∴​$AD = 6$​
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