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 解：（1）因为$AB = AC，$所以$\angle B = \angle C。$因为$\angle BAC = 120^{\circ}，$$\angle B+\angle C+\angle BAC = 180^{\circ}，$所以$\angle B = \angle C=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC)=30^{\circ}。$

 又$BD = BE，$所以$\angle BDE = \angle BED。$又$\angle BDE+\angle BED+\angle B = 180^{\circ}，$所以$\angle BDE = \angle BED=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=75^{\circ}。$

 因为$AD$是边$BC$上的中线，所以$AD\perp BC，$即$\angle ADB = 90^{\circ}。$所以$\angle ADE=\angle ADB-\angle BDE = 15^{\circ}。$

证明： （2）因为$FM$垂直平分$DC，$所以$DF = CF。$由（1），得$\angle C = 30^{\circ}，$$AD\perp BC，$所以$\angle FDC = \angle C = 30^{\circ}，$$\angle ADC = 90^{\circ}。$

 所以$\angle AFD=\angle C+\angle FDC = 60^{\circ}，$$\angle ADF=\angle ADC-\angle FDC = 60^{\circ}，$$\angle DAF = 90^{\circ}-\angle C = 60^{\circ}。$

 所以$\angle AFD=\angle DAF=\angle ADF = 60^{\circ}。$所以$\triangle ADF$是等边三角形。

 解：（3）由（1）（2），得$\angle C = 30^{\circ}，$$DF = CF，$$\triangle ADF$是等边三角形，则$AF = DF = CF。$

 因为$FM$垂直平分$DC，$所以$\angle FMC = 90^{\circ}。$又$FM = 2，$所以$CF = 2FM = 4。$所以$AF = 4。$所以$AC = AF + CF = 8。$又$AB = AC，$所以$AB = 8。$

 证明：（1）因为$\angle ACB = 90^{\circ}，$所以$\angle BAC+\angle B = 90^{\circ}。$因为$\angle B = 60^{\circ}，$所以$\angle BAC = 90^{\circ}-\angle B = 30^{\circ}。$

 因为$AD，$$CE$分别是$\angle BAC，$$\angle ACB$的平分线，所以$\angle DAC=\angle DAB=\frac{1}{2}\angle BAC = 15^{\circ}，$$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB = 45^{\circ}。$

 所以$\angle ADC=\angle BAD+\angle B = 75^{\circ}，$$\angle BEC=\angle BAC+\angle ACE = 75^{\circ}，$即$\angle BEC=\angle ADC。$

 解：（2）$FE = FD。$证明如下：过点$F$作$FP\perp AC$于点$P，$连接$BF。$

 因为$AD，$$CE$分别是$\angle BAC，$$\angle BCA$的平分线，$FG\perp AB，$$FH\perp BC，$所以$FG = FP，$$FP = FH，$$\angle DHF=\angle EGF = 90^{\circ}，$即$FG = FH。$

 由（1），得$\angle BEC=\angle ADC，$即$\angle GEF=\angle HDF。$所以$\triangle DHF\cong\triangle EGF(AAS)。$所以$FE = FD。$

 （3）成立。证明如下：过点$F$分别作$FM\perp BC$于点$M，$作$FN\perp AB$于点$N，$连接$BF。$

 同（1）（2），得$\angle DAC=\angle DAB=\frac{1}{2}\angle BAC，$$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ACB，$$MF = FN，$$\angle DMF=\angle ENF=\angle BNF = 90^{\circ}。$

 因为$\angle ABC = 60^{\circ}，$$\angle ABC+\angle DMF+\angle BNF+\angle MFN = 360^{\circ}，$所以$\angle MFN = 360^{\circ}-\angle DMF-\angle BNF-\angle ABC = 120^{\circ}。$

 因为$\angle DAC+\angle ACE+\angle CFA = 180^{\circ}，$所以$\angle CFA = 180^{\circ}-(\angle DAC+\angle ACE)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle BAC+\angle ACB)=180^{\circ}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ABC)=120^{\circ}。$

 所以$\angle DFE=\angle CFA=\angle MFN = 120^{\circ}。$所以$\angle MFN-\angle DFN=\angle DFE-\angle DFN，$即$\angle DFM=\angle EFN。$

 所以$\triangle DMF\cong\triangle ENF(ASA)。$所以$FE = FD。$

$EF = BE + FD$

 解：（2）（1）中的结论仍然成立。证明如下：延长$CD$至点$G，$使$DG = BE，$连接$AG。$

 因为$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}，$$\angle ADG+\angle ADC = 180^{\circ}，$所以$\angle ADG = \angle ABC。$

 因为$AB = AD，$所以$\triangle ABE\cong\triangle ADG(SAS)。$所以$\angle BAE=\angle DAG，$$AE = AG。$

 又$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD，$所以$\angle BAE+\angle DAF=\frac{1}{2}\angle BAD，$即$\angle DAG+\angle DAF=\frac{1}{2}\angle BAD。$所以$\angle GAF=\angle EAF。$

 因为$AF = AF，$所以$\triangle EAF\cong\triangle GAF(SAS)。$所以$EF = GF = DG + FD = BE + FD。$

 （3）（1）中的结论不成立，它们之间的数量关系为$EF = BE - FD。$证明如下：

 延长$CD$至点$G，$使$DG = BE，$连接$AG。$因为$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}，$$\angle ADG+\angle ADC = 180^{\circ}，$所以$\angle ADG = \angle ABC。$

 因为$AB = AD，$所以$\triangle ABE\cong\triangle ADG(SAS)。$所以$\angle BAE=\angle DAG，$$AE = AG。$

 因为$\angle BAE+\angle EAD=\angle BAD，$所以$\angle DAG+\angle EAD+\angle DAF=\angle BAD+\angle DAF。$

 因为$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD，$所以$\angle DAG+\frac{1}{2}\angle BAD=\angle BAD+\angle DAF。$所以$\angle DAG-\angle DAF=\frac{1}{2}\angle BAD，$即$\angle GAF=\frac{1}{2}\angle BAD。$所以$\angle GAF=\angle EAF。$

 因为$AF = AF，$所以$\triangle EAF\cong\triangle GAF(SAS)。$所以$EF = GF = DG - FD = BE - FD。$则它们之间的数量关系为$EF = BE - FD。$