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解：
$\begin{aligned}&(a + 3)^{2}-(a + 1)(a - 1)-2(2a + 4)\\=&a^{2}+6a + 9-(a^{2}-1)-(4a + 8)\\=&a^{2}+6a + 9 - a^{2}+1 - 4a - 8\\=&(a^{2}-a^{2})+(6a - 4a)+(9 + 1 - 8)\\=&2a + 2\end{aligned}$
当$a = -\frac{1}{2}$时，原式$=2\times(-\frac{1}{2})+2=-1 + 2 = 1。$
解：因为$\vert a+\frac{1}{2}\vert+(b - 3)^{2}=0，$绝对值具有非负性，一个数的平方也具有非负性，所以$\begin{cases}a+\frac{1}{2}=0\\b - 3=0\end{cases}，$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2}\\b = 3\end{cases}。$
$\begin{aligned}&[(2a + b)^{2}+(2a + b)(b - 2a)-6b]\div2b\\=&[(2a + b)^{2}-(2a - b)(2a + b)-6b]\div2b\\=&[(2a + b)(2a + b-(2a - b))-6b]\div2b\\=&[(2a + b)(2a + b - 2a + b)-6b]\div2b\\=&[(2a + b)\times2b-6b]\div2b\\=&(4ab + 2b^{2}-6b)\div2b\\=&2a + b - 3\end{aligned}$
将$a = -\frac{1}{2}，$$b = 3$代入上式得：$2\times(-\frac{1}{2})+3 - 3=-1。$
$ap + bp + cp=p(a + b + c)$
（2）$(a + b)(a + 2b)=a^{2}+3ab + 2b^{2}$
理由：因为题图②可以看成长为$a + 2b$、宽为$a + b$的长方形，所以题图②的面积为$(a + b)(a + 2b)。$又因为题图②的面积也可以看成$6$个部分的面积之和，即$a^{2}+3ab + 2b^{2}，$所以$(a + b)(a + 2b)=a^{2}+3ab + 2b^{2}。$
（3）如图，涂色部分是边长为$2a - b$的正方形，所以面积为$(2a - b)^{2}。$因为大正方形的边长为$2a，$面积为$4a^{2}，$空白部分的面积为$4ab - b^{2}，$所以$(2a - b)^{2}=4a^{2}-4ab + b^{2}。$
$12$
解：（1）因为$x + y = 4，$
所以$(x + y)^{2}=x^{2}+2xy + y^{2}=16。$
又因为$x^{2}+y^{2}=9，$
所以$2xy = 16 - 9 = 7，$则$xy = 3.5。$
（3）因为两块直角三角尺全等，$\angle AOB=\angle COD = 90^{\circ}，$
点$A，$$O，$$D$在同一直线上，点$B，$$O，$$C$也在同一直线上，
所以$AO = CO，$$BO = DO，$$\angle AOC = 180^{\circ}-\angle COD = 90^{\circ}，$$\angle BOD=\angle AOC = 90^{\circ}。$
设$AO = CO = x，$$BO = DO = y。$
因为$AD = AO + OD = x + y = 12，$
所以$(x + y)^{2}=12^{2}，$即$x^{2}+y^{2}+2xy = 144，$
所以$2xy = 144-(x^{2}+y^{2})。$
又因为$S_{\triangle AOC}+S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}=40，$
所以$x^{2}+y^{2}=80，$所以$2xy = 144 - 80 = 64，$
所以$xy = 32，$所以$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}OA\cdot OB=\frac{1}{2}xy = 16，$
即一块直角三角尺的面积为$16。$
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