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第140页

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奇数

 解：$\because$在两个连续偶数中，设较小的数为$2n$（$n$为整数），$\therefore$较大的数为$2n + 2。$

 $\therefore (2n)^2+(2n + 2)^2=4n^2+4n^2 + 8n + 4=8n^2 + 8n + 4=4(2n^2 + 2n + 1)。$

 $\because n$为整数，$\therefore 2n^2$是偶数，$2n + 1$是奇数。$\therefore 2n^2 + 2n + 1$是奇数。

 $\therefore$任意两个连续偶数的平方和是$4$的奇数倍。

 （1）解：$\because x^3 + 4x^2 - 5=(x - 1)(x^2 + mx + n)=x^3+(m - 1)x^2+(n - m)x - n，$

 $\therefore m - 1 = 4，$$n - m = 0。$

 由$m - 1 = 4，$得$m = 5，$

 把$m = 5$代入$n - m = 0，$得$n - 5 = 0，$$n = 5。$

 （2）解：把$x = -1$代入$x^3 + x^2 - 9x - 9，$得到多项式的值为$0，$

 $\therefore$多项式$x^3 + x^2 - 9x - 9$中有因式$x + 1，$于是可设$x^3 + x^2 - 9x - 9=(x + 1)(x^2 + mx + n)=x^3+(m + 1)x^2+(n + m)x + n。$

 $\therefore m + 1 = 1，$$n + m = -9。$

 由$m + 1 = 1，$得$m = 0，$

 把$m = 0$代入$n + m = -9，$得$n + 0 = -9，$$n = -9。$

 $\therefore x^3 + x^2 - 9x - 9=(x + 1)(x^2 - 9)=(x + 1)(x + 3)(x - 3)。$

$(2m + n)(m + 2n)$

 （1）②解：$\because$长方形纸板的面积为$108\ cm^2，$

每块小长方形纸板的面积为$10\ cm^2，$

 $\therefore 2m^2 + 5mn + 2n^2 = 108，$$mn = 10。$

 由$2m^2 + 5mn + 2n^2 = 108，$$mn = 10，$

可得$2m^2+2n^2=108 - 5\times10 = 58，$则$m^2 + n^2 = 29。$

 $\because (m + n)^2=m^2 + 2mn + n^2=29 + 2\times10 = 49，$

且$m + n＞0，$$\therefore m + n = 7。$

 $\because 2(m + 2n + 2m + n)=6(m + n)=6\times7 = 42，$

 $\therefore$题图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为$42\ cm。$

 （2）解：，

$2m^2 + 7mn + 3n^2=(2m + n)(m + 3n)。$