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 (1)证明：

 因为$E$为$AD$的中点，所以$AE = DE。$

 因为$AF// BC，$所以$\angle FAE = \angle EDB。$

 在$\triangle AFE$和$\triangle DBE$中，

 $\begin{cases}\angle FEA = \angle BED \\AE = DE \\\angle FAE = \angle BDE\end{cases}$

 所以$\triangle AFE\cong\triangle DBE(ASA)。$

 所以$AF = DB。$

 因为$AD$为$BC$边上的中线，所以$DC = DB，$所以$AF = DC。$

 (2)结论：$AC，$$DF$互相平分。

 证明：因为$AF// BC，$所以$\angle AFO = \angle CDO，$$\angle FAO = \angle OCD。$

 在$\triangle AOF$和$\triangle COD$中，

 $\begin{cases}\angle AFO = \angle CDO \\AF = CD \\\angle FAO = \angle DCO\end{cases}$

 所以$\triangle AOF\cong\triangle COD(ASA)。$

 所以$AO = CO，$$FO = DO，$即$AC，$$DF$互相平分。

 $\triangle ABE\cong\triangle ACE，$$\triangle ADF\cong\triangle CDB$

$AF = 2CE$

解:$问题探究:延长AB,CD交于点G$

$∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠GAD$

$∵AD⊥CD,∴∠ADC=∠ADG=90°$

$在△ADC和△ADG中$

$\begin{cases}{ ∠ADC=∠ADG} \\ { AD=AD} \\{ ∠CAD=∠GAD} \end{cases}$

$∴△ADC≌△ADG(ASA),∴CD=GD,即CG=2CD$

$∵∠BAC=∠BCA=45°,∴∠ABC=90°, ∴∠CBG=90°$

$∴ ∠G+∠BCG=90°$

$∵∠G+∠BAE=90°, ∴∠BAE= ∠BCG$

$在 △ABE 和 △CBG 中$

$\begin{cases}{∠AEB=∠CBG\ } \\ {AB=CB\ } \\{ ∠BAE=∠BCG} \end{cases}$

$∴△ABE≌△CBG(ASA), ∴AE=CG=2CD$

$拓展延伸:作DG⊥BC交CE的延长线于G$

$DF=2CE$