第107页 - 经纶学典学霸八年级数学上下册【江苏国标】

A

$(3,240^{\circ})$

$(6077,2)$

$(4,6)$

$(1,6)$

解: (1) 建立平面直角坐标系并描出$A，$$B$两村的位置，如图所示。$A(0,1)，$$B(4,4)。$ 

 (2) 如图，作点$A$关于$x$轴的对称点$A'，$连接$A'B$交$x$轴于点$P，$则点$P$即为水泵站的位置（两点之间线段最短）。$PA + PB = PA' + PB = A'B，$$A'B$即为所用水管的最短长度。过$B，$$A'$分别作$x$轴、$y$轴的垂线交于点$E。$$\because$点$A$的坐标为$(0,1)，$点$B$的坐标为$(4,4)，$$\therefore$点$A'$的坐标为$(0,-1)。$$\because A'E = 4，$$BE = 5，$$\therefore$在$Rt\triangle A'BE$中，$A'B=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}。$故所用水管的最短长度为$\sqrt{41}$千米。

解: (2) 由题意可得，在移动过程中，当点$P$到$x$轴的距离为$4$个单位长度时，存在两种情况。

 第一种情况，当点$P$在$OC$上时，点$P$移动的时间是$4\div2 = 2$（秒）；

 第二种情况，当点$P$在$BA$上时，点$P$移动的时间是$(6 + 4 + 2)\div2 = 6$（秒）。故在移动过程中，当点$P$到$x$轴的距离为$4$个单位长度时，点$P$移动的时间是$2$秒或$6$秒。

 (3) 如图①所示，$\because\triangle OBP$的面积为$10，$$\therefore\frac{1}{2}BC\cdot OP = 10，$即$\frac{1}{2}\times4\times OP = 10，$解得$OP = 5，$$\therefore$此时点$P$移动的时间是$\frac{5}{2}$秒。

 如图②所示，$\because\triangle OBP$的面积为$10，$$\therefore\frac{1}{2}OC\cdot PB = 10，$即$\frac{1}{2}\times6\times PB = 10，$解得$BP=\frac{10}{3}，$$\therefore CP=\frac{2}{3}，$$\therefore$此时点$P$移动的时间是$\frac{10}{3}$秒。

 如图③所示，$\because\triangle OBP$的面积为$10，$$\therefore\frac{1}{2}BC\cdot BP = 10，$即$\frac{1}{2}\times4\times BP = 10，$解得$BP = 5，$$\therefore$此时点$P$移动的时间是$\frac{15}{2}$秒。

 如图④所示，$\because\triangle OBP$的面积为$10，$$\therefore\frac{1}{2}AB\cdot OP = 10，$即$\frac{1}{2}\times6\times OP = 10，$解得$OP=\frac{10}{3}，$$\therefore$此时点$P$移动的时间是$\frac{25}{3}$秒。

 综上所述，点$P$移动的时间是$\frac{5}{2}$秒或$\frac{10}{3}$秒或$\frac{15}{2}$秒或$\frac{25}{3}$秒。