解：
(1) 根据题图①与题意可得，当点$P$由$B→C$运动时，$\triangle PBF$的面积逐渐增大；当点$P$由$C→D$运动时，$\triangle PBF$的面积不变，此时，$\triangle PBF$的面积为最大值$6；$当点$P$由$D→E$运动时，$\triangle PBF$的面积逐渐减小. 当点$P$在$CD$上时，$S$为最大值$6，$即$S = \frac{1}{2}\times BF\times 4 = 6，$解得$BF = 3$cm. 当$t = 1$时，$S = \frac{3}{2}$$cm^2，$$BP = a$cm，则有$\frac{1}{2}\times BF\times BP = \frac{3}{2}，$即$\frac{1}{2}\times 3a = \frac{3}{2}，$解得$a = 1.$ 故线段$BF$的长为$3$cm，$a$的值为$1。$
(2) 当$0 ＜ t\leq4$时，点$P$在$BC$边上运动，$S = \frac{1}{2}\times BF\times BP = \frac{1}{2}\times 3\times t = \frac{3}{2}t；$当$4 ＜ t\leq8$时，点$P$在$CD$边上运动，此时面积$S = \frac{1}{2}\times BF\times BC = \frac{1}{2}\times 3\times 4 = 6；$当$8 ＜ t\leq10$时，点$P$在线段$DE$上运动，$S = \frac{1}{2}\times BF\times AP = \frac{1}{2}\times 3\times(12 - t)=18 - \frac{3}{2}t.$ 综上，$S=\begin{cases}\frac{3}{2}t(0 ＜ t\leq4) \\6(4 ＜ t\leq8) \\18 - \frac{3}{2}t(8 ＜ t\leq10)\end{cases}。$
(3) 当$S = 4$$cm^2$时，①当$0 ＜ t\leq4$时，$\frac{3}{2}t = 4，$解得$t = \frac{8}{3}，$符合题意. ②当$8 ＜ t\leq10$时，$18 - \frac{3}{2}t = 4，$解得$t = \frac{28}{3}，$符合题意. 故当$t = \frac{8}{3}$或$t = \frac{28}{3}$时，$\triangle PBF$的面积$S$为$4$$cm^2。$
