解：
(1)
∵点$P(1,a)$在直线$y = 3x$上，
∴$a = 3，$即$P(1,3)。$
∵直线$y = kx(0\lt k\lt1)$上有一点$Q(b,1)，$
∴$bk = 1，$解得$b=\frac{1}{k}，$
∴$Q(\frac{1}{k},1)。$
(2)由题意知，$A(1,0)，$$B(\frac{1}{k},0)，$
∴$S_{\triangle APQ}=\frac{1}{2}\times3\times(\frac{1}{k}-1)，$
$S_{\triangle OPQ}=S_{\triangle AOP}+S_{\triangle APQ}+S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle BOQ}=\frac{1}{2}\times1\times3+\frac{1}{2}\times3\times(\frac{1}{k}-1)+\frac{1}{2}\times(\frac{1}{k}-1)\times1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{k}\times1=\frac{3}{2k}-\frac{1}{2}。$
∵$\triangle APQ$的面积是$\triangle OPQ$面积的$\frac{3}{4}，$
∴$\frac{1}{2}\times3\times(\frac{1}{k}-1)=(\frac{3}{2k}-\frac{1}{2})\times\frac{3}{4}，$
可得$\frac{1}{k}=3，$
∴$k=\frac{1}{3}。$
(3)存在。点$D$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})。$
解析：设$D(m,3m)，$当$D$在第一象限时，
∵$S_{\triangle ODG}=\frac{1}{2}S_{\triangle OPG}，$
∴$OD=\frac{1}{2}OP，$
∴点$D$是$OP$的中点，
∴$D(\frac{1}{2},\frac{3}{2})；$
当$D$在第三象限时，如图中点$D'，$由题意知$OD = OD'，$
∴$D'(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})。$
综上所述，$D$的坐标为$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$或$(-\frac{1}{2},-\frac{3}{2})。$
