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解：
(1)把$C(2,4)$代入$y = mx，$得$4 = 2m，$
解得$m = 2。$
因为一次函数$y = kx + 2$的图象与$x$轴交点为$A(-2,0)，$
所以$-2k + 2 = 0，$
解得$k = 1，$
所以直线$AB$的表达式为$y = x + 2。$
(2)把$x = 0$代入$y = x + 2，$得$y = 2，$所以点$B$的坐标为$(0,2)。$
因为点$P$是$x$轴上一点，且$\triangle PBC$的面积是$6，$
$S_{\triangle BPC}=S_{\triangle APC}-S_{\triangle ABP}=\frac{1}{2}\times AP\times4-\frac{1}{2}\times AP\times2 = 6，$
即$\frac{1}{2}\times AP\times(4 - 2)=6，$$AP = 6。$
又因为点$A$的坐标为$(-2,0)，$
所以点$P$的坐标为$(-8,0)$或$(4,0)。$
解：因为一次函数$y = kx + b(k\neq0)$的图象过点$(0,-2)，$所以$b = -2。$
设一次函数与$x$轴的交点是$(a,0)，$则$\frac{1}{2}\times2\times|a| = 3，$
即$|a| = 3，$解得$a = 3$或$a=-3。$
把$(3,0)$代入$y = kx - 2，$得$3k - 2 = 0，$
解得$k=\frac{2}{3}，$则函数的表达式是$y=\frac{2}{3}x - 2；$
把$(-3,0)$代入$y = kx - 2，$得$-3k - 2 = 0，$
解得$k=-\frac{2}{3}，$则函数的表达式是$y = -\frac{2}{3}x - 2。$
所以此一次函数表达式为$y = -\frac{2}{3}x - 2$或$y=\frac{2}{3}x - 2。$
解：
(1)设直线$AC$的表达式是$y = kx + b，$根据题意得$\begin{cases}4k + b = 2\\b = 6\end{cases}，$
将$b = 6$代入$4k + b = 2，$得$4k+6 = 2，$$4k=-4，$解得$k = -1，$
则直线$AC$的表达式是$y = -x + 6。$
(2)因为$C(0,6)，$$A(4,2)，$所以$OC = 6，$
$S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}\times6\times4 = 12。$
(3)存在。设直线$OA$的表达式是$y = mx，$则$4m = 2，$解得$m=\frac{1}{2}。$
则直线$OA$的表达式是$y=\frac{1}{2}x。$
因为$\triangle OMC$的面积是$\triangle OAC$的面积的$\frac{1}{2}$时，
$\triangle OAC$中$OC$边上的高为$A$的横坐标$4，$所以$M$到$y$轴的距离是$\frac{1}{2}\times4 = 2，$所以点$M$的横坐标为$2$或$-2。$
当$M$的横坐标是$2$时，
在$y=\frac{1}{2}x$中，当$x = 2$时，$y = 1，$则$M$的坐标是$(2,1)；$
在$y = -x + 6$中，当$x = 2$时，$y = 4，$则$M$的坐标是$(2,4)。$
当$M$的横坐标是$-2$时，在$y = -x + 6$中，当$x=-2$时，$y = 8，$则$M$的坐标是$(-2,8)。$
综上所述，$M$的坐标是$(2,1)$或$(2,4)$或$(-2,8)。$
解：
(1)当$x = 0$时，$y=-\frac{3}{4}x + 6 = 6，$所以$A(0,6)。$
当$y = 0$时，$-\frac{3}{4}x + 6 = 0，$
$-\frac{3}{4}x=-6，$解得$x = 8，$所以$B(8,0)。$
(2)过点$C$作$CH\perp x$轴于点$H。$
因为$CD = CB，$所以$DH = BH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\times[8 - (-4)] = 6，$
$OH = OB - BH = 8 - 6 = 2。$
当$x = 2$时，$y=-\frac{3}{4}x + 6=-\frac{3}{4}\times2 + 6=\frac{9}{2}，$所以点$C$的坐标为$(2,\frac{9}{2})。$
(3)因为$\triangle ACE$与$\triangle DOE$的面积相等，所以$\triangle AOC$与$\triangle COD$的面积相等，连接$AD，$所以$AD// OC。$
设$AD$所在直线的表达式为$y = kx + b，$把$A(0,6)，$$D(-4,0)$分别代入，得$\begin{cases}b = 6\\-4k + b = 0\end{cases}，$
将$b = 6$代入$-4k + b = 0，$得$-4k+6 = 0，$$4k = 6，$解得$k=\frac{3}{2}，$
所以直线$AD$的表达式为$y=\frac{3}{2}x + 6。$
直线$OC$的表达式为$y=\frac{3}{2}x。$
解方程组$\begin{cases}y=-\frac{3}{4}x + 6\\y=\frac{3}{2}x\end{cases}，$
将$y=\frac{3}{2}x$代入$y=-\frac{3}{4}x + 6$得：$\frac{3}{2}x=-\frac{3}{4}x + 6，$
$\frac{3}{2}x+\frac{3}{4}x = 6，$$\frac{6}{4}x+\frac{3}{4}x = 6，$$\frac{9}{4}x = 6，$$x=\frac{8}{3}，$
$y=\frac{3}{2}\times\frac{8}{3}=4，$所以$C(\frac{8}{3},4)。$
设$P(t,-\frac{3}{4}t + 6)。$
当点$P$在点$C$下方时，$S_{\triangle PCD}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle PBD}，$
因为$\triangle DOC$与$\triangle DPC$的面积相等，
$\frac{1}{2}\times12\times4-\frac{1}{2}\times12\times(-\frac{3}{4}t + 6)=8，$
$24 - 6(-\frac{3}{4}t + 6)=8，$
$24+\frac{9}{2}t - 36 = 8，$
$\frac{9}{2}t - 12 = 8，$
$\frac{9}{2}t = 20，$解得$t=\frac{40}{9}，$
此时$P$坐标为$(\frac{40}{9},\frac{8}{3})。$
当点$P$在点$C$上方时，$S_{\triangle PCD}=S_{\triangle PBD}-S_{\triangle CBD}，$
因为$\triangle DOC$与$\triangle DPC$的面积相等，
$\frac{1}{2}\times12\times(-\frac{3}{4}t + 6)-\frac{1}{2}\times12\times4 = 8，$
$6(-\frac{3}{4}t + 6)-24 = 8，$
$-\frac{9}{2}t + 36 - 24 = 8，$
$-\frac{9}{2}t + 12 = 8，$
$-\frac{9}{2}t=-4，$解得$t=\frac{8}{9}，$
此时点$P$坐标为$(\frac{8}{9},\frac{16}{3})。$
综上所述，点$P$坐标为$(\frac{40}{9},\frac{8}{3})$或$(\frac{8}{9},\frac{16}{3})。$
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