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 解：设调整前乙地该商品的销售单价为$x$元，则调整前甲地该商品的销售单价为$(x - 10)$元。

 根据题意，得$(1 + 10\%)(x - 10) = (x - 5) - 1。$

 $1.1(x - 10)=x - 5 - 1$

 $1.1x-11=x - 6$

 $1.1x - x=-6 + 11$

 $0.1x = 5$

 $x = 50。$

 此时$x - 10 = 50 - 10 = 40。$

 答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单价为50元。

解：$(1)$设购进甲种饮用水$x$箱，则购进乙种饮用水$(500 - x)$箱。

根据题意，得$25x + 35(500 - x) = 14500。$

$ 25x+17500 - 35x = 14500$

$ -10x=14500 - 17500$

$ -10x=-3000$

$ x = 300。$

$ $此时$500 - x = 500 - 300 = 200。$

答：购进甲种饮用水$300$箱，购进乙种饮用水$200$箱。

$ (2)(35 - 25)×300+(48 - 35)×200$

$ =10×300 + 13×200$

$ =3000+2600$

$ = 5600($元$)。$

答：该商场售完这$500$箱饮用水后，可获利$5600$元。

解：设修建A种光伏车棚每个需投资$x$万元，则修建B种光伏车棚每个需投资$(8 - 2x)$万元。

根据题意，得$5x + 3(8 - 2x) = 21。$

$5x+24 - 6x = 21$

$-x=21 - 24$

$-x=-3$

$x = 3。$

此时$8 - 2x = 8 - 2×3 = 8 - 6 = 2。$

答：修建$A$种光伏车棚每个需投资$3$万元，修建$B$种光伏车棚每个需投资$2$万元。