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解：设原存煤量为$x$吨。

根据题意，得$\frac{15}{3}+\frac{x - 15}{3×\frac{1}{2}}=\frac{x}{3}+10，$

即$5+\frac{x - 15}{\frac{3}{2}}=\frac{x}{3}+10，$

$5+\frac{2(x - 15)}{3}=\frac{x}{3}+10，$

去分母得：$15 + 2(x - 15)=x + 30，$

去括号得：$15 + 2x - 30 = x + 30，$

移项得：$2x - x = 30 + 30 - 15，$

合并同类项得：$x = 45。$

答：原存煤量为$45$吨。

解：$(1)$根据题意，得$10a = 23，$

$ $解得$a = 2.3。$

答：$a$的值为$2.3。$

$ (2)$设该用户五月份用水$x$立方米。

$ $因为当用水$22$立方米时，水费为$22×2.3 = 50.6($元$)，$$50.6＜71，$所以$x＞22。$

根据题意，得$22×2.3+(x - 22)×(2.3 + 1.1)=71，$

$ $即$50.6+(x - 22)×3.4 = 71，$

去括号得：$50.6 + 3.4x - 74.8 = 71，$

移项得：$3.4x = 71 + 74.8 - 50.6，$

合并同类项得：$3.4x = 95.2，$

$ $系数化为$1$得：$x = 28。$

答：该用户五月份用水$28$立方米。

解：设用$x$米长的布料生产上衣，则用$(600 - x)$米长的布料生产裤子。

根据题意，得$x:(600 - x)=3:2，$即$2x = 3(600 - x)，$

去括号得：$2x = 1800 - 3x，$

移项得：$2x + 3x = 1800，$

合并同类项得：$5x = 1800，$

系数化为$1$得：$x = 360。$

此时$600 - x = 600 - 360 = 240，$$360÷3×2 = 240$（套）。

答：用$360$米长的布料生产上衣，$240$米长的布料生产裤子才能恰好配套，共能生产$240$套。