解:$(2)$解方程$3x-(n + 3)=0,$得$x=\frac {n + 3}{3},$
所以其$“$倒数方程$”$的解为$x=\frac {3}{n + 3}。$
根据题意,得$\frac {n + 3}{3},$$\frac {3}{n + 3}$都是整数,
所以$n + 3=\pm 3$
$ $当$n + 3 = 3$时,$n = 0;$当$n + 3=-3$时,$n=-6$
$ (3)$解方程$3(x - 1)+2 = 0,$得$x=\frac {1}{3}。$
所以它的$“$倒数方程$”\frac {17}{2025}x + 5=2x + k$的解为$x = 3。$
$ $因为$\frac {17}{2025}(y + 1)+4=2y + k + 1$可化为$\frac {17}{2025}(y + 1)+5=2(y + 1)+k,$
所以$y + 1 = 3,$
所以$y = 2。$
$ $所以关于$y$的一元一次方程$\frac {17}{2025}(y + 1)+4=2y + k + 1$的解为$y = 2$