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$(30 + 2\alpha)^{\circ}$
解​$：(1)$​因为直线​$AB，$​​$CD$​相交于点​$O，$​
所以​$∠BOD=∠AOC = 75°。$​
因为​$∠BOE：∠DOE = 2：3，$​
所以​$∠BOE=\frac {2}{2 + 3}∠BOD=\frac {2}{5}×75°=30° $​
​$(2)$​因为​$∠AOE+∠BOE = 180°，$​​$∠BOE = 30°，$​
所以​$∠AOE = 150°。$​
因为​$OF $​平分​$∠AOE，$​
所以​$∠AOF=\frac {1}{2}∠AOE = 75°。$​
因为​$∠AOC = 75°，$​
所以​$∠AOC=∠AOF，$​
所以​$OA$​是​$∠COF $​的平分线
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$\frac{21}{5}$或$\frac{19}{3}$或8
解：​$(2)$​根据题意，得点​$P $​从​$A→C$​需要​$20÷4=5(\mathrm {s})，$​
从​$A→C→D$​共需要​$(20+7)÷4=\frac {27}{4}(\mathrm {s})；$​
点​$Q $​从​$B→C$​需要​$8÷1=8(\mathrm {s})，$​
从​$B→D$​共需要​$(8+7)÷1=15(\mathrm {s}).$​
分情况讨论：
​$①$​当​$0≤t≤5$​时，​$PC=(20-4t)\mathrm {cm}，$​​$CQ=(8-t)\mathrm {cm}.$​
由​$20-4t=8-t，$​得​$t=4.$​
​$②$​当​$5＜t≤\frac {27}{4}$​时，​$PC=(4t-20)\mathrm {cm}，$​​$CQ=(8-t)\mathrm {cm}.$​
由​$4t-20=8-t，$​得​$t=\frac {28}{5}.$​
​$③$​当​$\frac {27}{4}＜t≤8$​时，​$PC=DC=7\ \mathrm {cm}，$​​$CQ=(8-t)\mathrm {cm}.$​
由​$7=8-t，$​解得​$t=1($​不合题意，舍去).
​$④$​当​$8＜t≤15$​时，点​$P，$​​$Q $​在点​$C$​同侧，不符合题意.
综上所述，当​$C$​恰好为​$PQ $​的中点时，​$t $​的值为​$4$​或​$\frac {28}{5}.$​
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