$ $解$:(1)$点$A_{2026}$到点$A_{1}$的距离为$2026 - 1=2025;$
$ (2)$因为$a_{15}-a_{1}=14,$$a_{15}=-18,$
所以$a_{1}=-18 - 14=-32。$
因为$a_{2026}-a_{1}=2025,$
所以$a_{2026}=(-32)+2025=1993;$
$ (3)$因为$a_{2026}-a_{1}=2025,$$a_{2026}=-1000,$
所以$a_{1}=-3025。$
所以$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{2026}$
$=(-3025)+(-3024)+(-3023)+...+(-1000)$
$=[(-3025)+(-1000)]×2026\div 2$
$=-4077325。$