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解：设长方体匣子底面的宽为$x\mathrm {cm}，$则长为$(x + 5)\mathrm {cm}$

$ $可得$10x(x + 5)=1500$

$x^2+5x - 150 = 0$

$ $因式分解得$(x + 15)(x - 10)=0$

$ $解得$x_{1}=-15($宽度不能为负，舍去)，$x_{2}=10$

$ $长为$x + 5 = 10 + 5 = 15(\mathrm {cm})$

∴长方体匣子底面的长是$15\ \mathrm {cm}，$宽是$10\ \mathrm {cm}$

解：设剩下的矩形框的四周的宽度为$x\mathrm {cm}$

则$ (300- 2x)(200- 2x) = 300×200×\frac 13$

整理得：$ x^2-250x+10000=0$

解得$ x_{1}= 50，$$x_{2}= 200($舍$)$

答：剩下的矩形框的四周的宽度为$50\ \mathrm {cm}。$

解：根据题意可得$(a-21)(350-10a)=400$

解得$a_{1}= 25，$$a_{2}= 31$

∵$21×(1+20\%)=25.2($元$)$

∴每件商品不能超过$25.2$元，∴$a=25$

$350-10a= 100$

答：需要卖出$100$件商品，每件商品的售价应为$25$元。