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50°
25°
75°
∠ACB = 2∠BAC
解：∵​$\widehat {AC }$​为​$36°，$​∴​$∠AQ C=18°$​
∵​$AQ//CD$​
∴​$∠AQ C=∠DCQ=18°$​
∵​$\widehat {BQ }=2\widehat {DQ }$​
∴​$∠BAQ= 2∠DCQ=36°$​
又∵​$AQ//CD$​
∴​$∠P=∠BAQ=36°$​
证明：​$P A=P B+P C，$​理由如下：
延长​$BP {至}E，$​使​$PE=P C，$​连接​$CE$​
∵​$∆ABC$​是等边三角形
∴​$AC=BC，$​​$∠ACB=∠ABC=60°$​
∵​$∠AP C=∠ABC，$​​$∠AP B=∠ACB$​
∴​$∠AP B=∠AP C=60°$​
∴​$∠CPE=60°$​
∵​$PE=P C$​
∴​$∆P CE$​是等边三角形
∴​$∠P CE=∠ACB=60°$​
∴​$∠P CE+∠BCP=∠ACB+∠BCP$​
即​$∠ACP=∠BCE$​
在​$∆AP C$​和​$∆BEC$​中
​$\begin {cases}P C=CE\\∠ACP=∠BCE\\AC=BC\end {cases}$​
∴​$∆AP C≌∆BEC(S AS)$​
∴​$AP=BE，$​即​$P A=BP+PE=BP+P C$​
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