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解：正八边形的内角和是$(8-2)×180°=1080°$

每个内角的度数是$1080°×\frac 18=135° $

$ 180°-135°=45°$

则空白处的四个三角形是全等的四个等腰直角三角形

设正八边形的边长为$x $

则空白处的四个等腰直角三角形的直角边长

都是$ \frac {\sqrt 2}2x$

根据题意得$ x+\frac {\sqrt 2}2x+\frac {\sqrt 2}2x=2(\sqrt 2+1)$

解得$x=2$

∴正八边形的边长为$2 $

它的面积$=2(\sqrt 2+ 1)×2(\sqrt 2+1)-4× \frac 12× \sqrt 2× \sqrt 2$

$= 8(\sqrt 2 + 1)$

解：连接$OC$

∵$E$是$BC$的中点

∴$S_{△BOE}=S_{△COE}$

同理可得$ S_{△OCF}=S_{△ODF}$

∵$BC=CD$

∴$CE=CF$

∴$S_{△BCF}=S_{△DCE}$

∴$S_{△BOE}=S_{△COE}=S_{△ODF}$

∴$S_{△BCF}=3 S_{△BOE}$

∵$S_{△BCF}=3×\frac 32×\frac 12=\frac 94$

∴$S_{△BOE}=\frac 34$

∴$S_{△BOC}+S_{△DOC}=3$

∴四边形$ABOD$的面积为$9-3=6$

解：$(1)$连接$OB、$$OC$

∵$∆ABC$是$⊙O$的内接正三角形

∴$OB=OC，$$∠BOC=120°$

$∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°$

又∵$BM=CN$

∴$∆OBM≌∆OCN$

∴$∠MOB=∠NOC$

∴$∠MON=∠BOC=120°$

$(2)$连接$OB、$$OC$

五边形$ABCDE$是$⊙O$的内接正五边形

∴$OB=OC，$$∠BOC=72°$

$∠OBC=∠OCB=∠OBA=54°$

又∵$BM=CN$

∴$∆OBM≌∆OCN$

∴$∠MOB=∠NOC$

可得$∠MON=∠BOC=72°$