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解：连接​$OD$​
∵​$CD$​是​$\odot O$​的切线
∴​$OD\perp CD，$​即​$∠ODC = 90°$​
∴​$∠DOC+∠DCO=90°$​
∵​$OA = OD，$​∴​$∠A=∠ODA$​
∴​$∠DOC=2∠A$​
∵​$CE$​平分​$∠ACD$​
∴​$∠DCE=∠ACE=\frac 12∠DCO$​
∵​$∠DEC=∠A+∠ACE=\frac 12∠DOC+\frac 12∠DCO$​
∴​$∠DEC=\frac 12(∠DOC+∠DCO)= 45°$​
解：​$(1)$​连接​$OE$​
∵​$ DE $​是​$ AC $​的垂直平分线
∴​$ BE = CE$​
∴​$ ∠EBC = ∠C = 30°，$​∴​$ ∠BEC = 120°$​
∵​$ OE = OC，$​∴​$ ∠OEC = ∠C = 30°$​
∴​$ ∠BEO = 90°$​
∴​$ $​直线​$ BE $​与​$∆DEC $​的外接圆的位置关系为相切
​$(2)$​∵​$ BE $​是​$⊙O $​的切线
∴​$ BE^2=BD·BC，$​即​$ (\sqrt 3)^2=1·BC$​
∴​$ BC = 3$​
∴​$ CD = 2$​
∴​$ ∆DCE $​的外接圆的直径是​$ 2$​
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