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证明：$(1)$∵$DE⊥AB，$$DF⊥AC$

∴$∠AED=∠AFD=90°$

在$Rt△ADE$和$Rt△ADF {中}$

$\begin {cases}{DE=DF}\\{AD=AD}\end {cases}$

∴$Rt△ADE≌Rt△ADF(\mathrm {HL})$

$(2)$∵$△ADE≌△ADF$

∴$∠BAD=∠CAD$

∵$AD$是$△ABC$的高

∴$∠ADB=∠ADC=90°$

在$△ABD$和$△ACD$中

$\begin {cases}{∠BAD=∠CAD}\\{AD=AD}\\{∠ADB=∠ADC}\end {cases}$

∴$△ABD≌△ACD(\mathrm {ASA})$

$DH$为边$FE$上的中线

$AG = DH$

$(1)$证明：在$Rt△ACG $和$Rt△DEH$中

$\begin {cases}{AC=DE}\\{AG=DH}\end {cases}$

∴$Rt△ACG≌Rt△DEH(\mathrm {HL})$

∴$CG=EH$

∵$AG $是$△ABC$的中线，$DH$是$△DEF $的中线

∴$BC=2CG，$$EF=2EH$

∴$BC=EF$

在$△ABC$和$△DFE$中

$\begin {cases}{AC=DE}\\{∠C=∠E}\\{BC=FE}\end {cases}$

∴$△ABC≌△DFE(\mathrm {SAS})$

$(2)$有一条直角边相等且另一条直角边所对的角的角平分线相等的

两个直角三角形全等