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解：​$(1)$​∵​$AB = AC，$​​$∠BAC=120°$​
∴​$∠C=\frac {180°-∠BAC}2=30°$​
​$ (2)$​连接​$AD$​
∵​$DE$​是​$AC$​的垂直平分线
∴​$AD = CD$​
​$ $​由​$(1)$​知​$∠C = 30°，$​∴​$∠DAC=∠C = 30°$​
又∵​$∠BAC = 120°$​
∴​$∠BAD=∠BAC-∠DAC=120°-30°=90°$​
​$ $​在​$Rt\triangle CDE$​中，​$∠C = 30°，$​​$DE = 1$​
∴​$CD=AD = 2DE= 2$​
​$ $​在​$Rt\triangle ABD$​中，​$∠B = ∠C=30°$​
∴​$BD = 2\ \mathrm {A}D= 4$​
∴​$BC=BD + CD=4 + 2=6$​
​$ (1)$​证明：连接​$BE，$​​$DE$​
∵​$∠ABC=∠ADC = 90°，$​​$E$​是​$AC$​中点
∴​$BE=\frac 12\ \mathrm {A}C，$​​$DE=\frac 12\ \mathrm {A}C$​
∴​$BE = DE$​
又∵​$F $​是​$BD$​中点，∴​$EF\perp BD$​
​$ (2)$​解：∵​$E$​是​$AC$​中点，​$AC = 10$​
∴​$BE = DE=\frac 12\ \mathrm {A}C = 5$​
∵​$BE = AE，$​​$DE = AE$​
∴​$∠ABE=∠BAC，$​​$∠ADE=∠CAD$​
∴​$∠BED=∠BEC+∠DEC$​
​$=2∠BAC + 2∠CAD=2∠BAD=60°$​
又∵​$BE = DE$​
∴​$\triangle BDE$​是等边三角形
∴​$BD = BE = 5$​
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