解：$(1)$建立如图所示的平面直角坐标系
∵边$AB$上的高为$4，$∴点$C$的纵坐标为$±4$
$①$当$AB$为底边时，则点$C$的横坐标为$AB$的中点的横坐标
∴$C(-1，$$4)$或$C'(-1，$$-4)$
$②$当$AB$为腰时
当$AC_{1}=AB=6，$过点$C_{1}$作$C_{1}E⊥x$轴于点$E$
则$C_{1}E=4，$∴$AE=\sqrt {AC_{1}^2-C_{1}E^2}=\sqrt {20}$
∴$OE=AE-AO=\sqrt {20}-4$
∴$C_{1}(\sqrt {20}-4，$$4)，$$C_{2}(\sqrt {20}-4，$$-4)$
当$AC_{7}=AB=6$时，过点$C_{7}$作$CH⊥x$轴于点$H$
∴$C_{7}H=C_{1}E=4，$$AH=AE=\sqrt {20}$
∴$OH=OA+AH=4+\sqrt {20}$
∴$C_{7}(-4-\sqrt {20}，$$4)、$$C_{8}(-4-\sqrt {20}，$$-4)$
当$BC_{3}=AB=6$时，过点$C_{3}$作$C_{3}D⊥x$轴于点$D$
则$C_{3}D=4，$∴$BD=\sqrt {BC_{3}^2-C_{3}D^2}=\sqrt {20}$
∴$OD=BD-OB=\sqrt {20}-2$
∴$C_{3}(2-\sqrt {20}，$$4)，$$C_{4}(2-\sqrt {20}，$$-4)$
当$BC_{5}=AB=6$时，过点$C_{5}$作$CF⊥x$轴于点$F$
∴$C_{5}F=C_{3}D=4，$$BF=BD=\sqrt {20}$
∴$OF=OB+BD=2+\sqrt {20}$
∴$C_{5}(2+\sqrt {20}，$$4)、$$C_{6}(2+\sqrt {20}，$$-4)$
综上，点$C$的坐标为$(-1，$$4)$或$(-1，$$-4)$或$(\sqrt {20}-4，$$4)$
或$(\sqrt {20}-4，$$-4)$或$(-4-\sqrt {20}，$$4)$或$(-4-\sqrt {20}，$$-4)$
或$(2-\sqrt {20}，$$4)$或$(2-\sqrt {20}，$$-4)$
或$(2+\sqrt {20}，$$4)$或$(2+\sqrt {20}，$$-4)$
$(2)S_{△ABC}=\frac 12AB· 4=\frac 12×6×4=12$
