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解：​$(1)$​将函数​$y = 2x - 3$​的图象向上平移​$6$​个单位长度
∴所得直线对应的函数表达式为​$y = 2x - 3 + 6 = 2x + 3$​
​$ (2)$​设平移后的函数表达式为​$y = 2x - 3 + m$​
∵图象经过点​$P(0，$​​$5)$​
∴​$5 = 2×0 - 3 + m，$​解得​$m = 8$​
​$ $​即图象向上平移​$8$​个单位长度可以经过点​$P(0，$​​$5)$​
​$ (3)$​对于​$y = 2x + 3$​
​$ $​关于​$x$​轴对称：​$-y = 2x + 3，$​即​$y = -2x - 3；$​
​$ $​关于​$y$​轴对称：​$y = 2(-x) + 3 = -2x + 3$​
解：当​$x ＞ 0$​时，​$y = 2\triangle x = 2 + x；$​
当​$x\leqslant 0$​时，​$y = 2\triangle x = -2 + x。$​
∴得到函数图象如图所示
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