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证明：​$(1 )$​连接​$OA$​
∵​$∠ABC = 30°$​
∴​$∠AOC= 60°$​
∴​$∠OAC = 60°$​
∵​$∠CAD = 30°$​
∴​$∠OAD = 90°$​
∴​$AD⊥OA$​
∴直线​$AD$​是圆​$O$​的切线
​$ (2)$​连接​$OB$​
∵​$OD⊥AB ，$​​$ OB= OA$​
∴​$OC$​平分​$∠AOB$​
∴​$∠AOC =∠BOC$​
∵​$∠ABC=30°$​
∴​$∠AOC=∠BOC= 60°$​
∴​$△BOC$​是等边三角形
∴​$OA= BC= OB= 5$​
​$ $​在直角​$△OAD$​中，​$∠ODB = 30°$​
∴​$OD= 10$​
∴​$ AD=\sqrt {OD^2-OA^2}=5\sqrt {3}$​
方法一：证明：连接​$OB ，$​并反向延长交​$CD$​于点​$E$​

∵​$AB$​与圆​$O$​相切​$，$​切点为​$B $​
∴​$∠EBA= 90° $​
∵​$CD//AB$​
∴​$∠DEB =∠EBA = 90° ，$​即​$BE⊥CD$​
∴​$CE=ED$​
∴​$BE$​是线段​$CD$​的垂直平分线
∴​$BC = BD$​
方法二: 证明：连接​$OB、$​​$OC$​

∵​$AB、$​​$AC$​分别与圆​$O$​相切
∴​$AB=AC$​
∴​$∠ABC =∠ACB $​
∵​$∠COB+2∠OBC=180°$​
∴​$2∠D+2∠OBC=180°$​
∵​$∠ABC+∠OBC=90°$​
∴​$∠D =∠ABC$​
∵​$CD//AB$​
∴​$∠DCB=∠ABC$​
∴​$∠DCB=∠D$​
∴​$BC= BD$​
解：将圆周五等分，依次连接各分点所成正五边形的不相邻顶点（或连
接每隔一个分点）即可得到五角星形。
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