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证明：∵​$AB=AC，$​∴​$∠B=∠C$​
在​$∆P BQ $​和​$∆Q CR {中}$​
​$\begin {cases}{P B=Q C}\\{∠B=∠C}\\{Q B=R C}\end {cases}$​
∴​$∆P BQ≌∆Q CR(S AS)$​
∴​$QP=QR$​
∴点​$Q $​在​$PR $​的垂直平分线上
解：连接​$CE$​
∵​$∆ABC$​是等边三角形
∴​$AC=BC，$​​$∠ACB=60°$​
∵​$EA=EB，$​​$EC=EC$​
∴​$∆EAC≌∆EBC(\mathrm {SSS})$​
∴​$∠ECB=30°$​
∵​$BD=AC=BC，$​​$BE$​平分​$∠DBC$​
∴​$∠DBE=∠CBE$​
又​$BE=BE$​
∴​$∆DBE≌∆CBE(S AS)$​
∴​$∠D=∠ECB=30°$​
证明：∵​$AE⊥CD$​
∴​$∆AEC$​为直角三角形
∵​$F $​是​$AC$​中点，∴​$EF=F C$​
∴​$∠FEC=∠F CE$​
∵​$CD$​平分​$∠ACB$​
∴​$∠F_{C}E=∠BCE$​
∴​$∠FEC=∠BCE$​
∴​$EF//BC$​
B
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