【解析】：本题主要考查一元一次方程的应用，关键在于根据月历中数字的排列规律来设立方程求解。
(1)对于图①中$2×2$的正方形方框：
设第一个数是$x$，根据月历中同一行相邻两个数相差$1$，同一列相邻两个数相差$7$的规律，则它右边的数为$x + 1$，下面的数为$x + 7$，右下角的数为$x + 7 + 1=x + 8$。
已知这四个数的和是$32$，可列出方程$x+(x + 1)+(x + 7)+(x + 8)=32$，
解这个方程：
$x+(x + 1)+(x + 7)+(x + 8)=32$
$4x+16 = 32$
$4x=32 - 16$
$4x=16$
$x = 4$
所以第一个数是$4$。
(2)对于图②中斜框的四个数：
设第一个数是$y$，根据月历数字规律，它右边的数比它大$6$，即为$y + 6$，下面的数比它大$1$，即为$y + 1$，右下角的数比$y+1$大$6$，也就是$y + 1+6=y + 7$。
已知这四个数的和是$42$，可列出方程$y+(y + 6)+(y + 1)+(y + 7)=42$，
解方程：
$y+(y + 6)+(y + 1)+(y + 7)=42$
$4y+14 = 42$
$4y=42 - 14$
$4y=28$
$y = 7$
那么$y + 6=7 + 6 = 13$，$y + 1=7 + 1 = 8$，$y + 7=7 + 7 = 14$。
所以这四个数分别是$7$，$8$，$13$，$14$。
(3)对于图③中呈十字框形的五个数：
设中间的数是$z$，根据月历数字规律，它上面的数比它小$7$，即为$z - 7$，下面的数比它大$7$，即为$z + 7$，左边的数比它小$1$，即为$z - 1$，右边的数比它大$1$，即为$z + 1$。
已知这五个数的和是$50$，可列出方程$z+(z - 7)+(z + 7)+(z - 1)+(z + 1)=50$，
解方程：
$z+(z - 7)+(z + 7)+(z - 1)+(z + 1)=50$
$5z=50$
$z = 10$
所以中间的数是$10$。
【答案】：(1)$4$；(2)$7$，$8$，$13$，$14$；(3)$10$。
