【解析】:
本题主要考查了控制变量法在探究电流与电阻关系实验中的应用。
在探究电流与电阻的关系时,需要采用控制变量法,即保持电阻两端的电压不变,改变电阻的大小,观察电流的变化情况。
当$R$由$5\Omega$更换为$10\Omega$后,电阻增大,根据串联电路的分压原理,电阻两端的电压会增大。为了保持电阻两端的电压不变,需要调节滑动变阻器的滑片,增大滑动变阻器接入电路的电阻,从而减小电阻$R$两端的电压,使其与原来相同。然后读出此时电流表的示数,以探究电流与电阻的关系。
接下来,对各选项进行分析:
A选项,保持滑片$P$不动,由于电阻增大,电阻两端的电压会发生变化,无法探究电流与电阻的关系,所以A选项错误。
B选项,调节滑片$P$使电流表的示数与原来相同,由于电阻改变,根据欧姆定律,电压也会改变,不符合实验要求,所以B选项错误。
C选项,调节滑片$P$,保持电压表的示数与原来相同,读出电流表的示数,符合控制变量法的要求,所以C选项正确。
D选项,多次调节滑片$P$,读出对应的电流表和电压表的示数,由于没有保持电压不变,无法准确探究电流与电阻的关系,所以D选项错误。
【答案】:C。