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（1）因为方程有两个不相等的实数根，所以此方程为一元二次方程，即$k\neq0，$且判别式$\Delta=(k + 2)^2-4\times k\times\frac{k}{4}＞0。$
展开判别式可得：$k^2+4k + 4 - k^2＞0，$化简得$4k+4＞0，$解得$k＞-1。$
综上，$k$的取值范围为$k＞-1$且$k\neq0。$
（2）不存在，理由如下：
设方程的两个实数根为$x_1$和$x_2，$由根与系数的关系可得：$x_1 + x_2=-\frac{k + 2}{k}，$$x_1x_2=\frac{\frac{k}{4}}{k}=\frac{1}{4}。$
两个实数根的倒数和为$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}，$若其等于$0，$则$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}=0。$
因为$x_1x_2=\frac{1}{4}\neq0，$所以$x_1 + x_2=0，$即$-\frac{k + 2}{k}=0，$解得$k=-2。$
又因为$k$的取值范围为$k＞-1$且$k\neq0，$而$k = - 2$不满足此范围，所以不存在实数$k，$使方程的两个实数根的倒数和等于$0。$
解：
∵矩形$AEHG$、矩形$CDEF$与矩形$BFHG$的面积比为$1:1:3，$
∴矩形$AEFB$的面积为矩形$AEHG$与矩形$BFHG$面积之和，即$1+3=4$份，
∴$S_{矩形AEFB}:S_{矩形CDEF}=4:1。$
∵矩形$AEFB$与矩形$CDEF$的高相等（均为$EF$），
∴它们的面积比等于底边之比，即$AE:DE=4:1。$
设$AD=x\ \text{m}，$则$AE=\frac{4}{5}x\ \text{m}，$$DE=\frac{1}{5}x\ \text{m}。$
由题意，围栏总长为$108\ \text{m}，$围栏包括$AD$、$DE$、$EF$、$BF$、$GH，$其中$EF=GH=AE=\frac{4}{5}x\ \text{m}，$$BF=AD=x\ \text{m}，$
∴围栏总长可表示为：$AD + DE + 2EF + BF = x + \frac{1}{5}x + 2\times\frac{4}{5}x + x = \frac{9}{5}x + x = \frac{14}{5}x$（此处原解析中围栏总长表达式可能存在笔误，根据图形实际应为$AD + DE + EF + BF + GH，$即$x + \frac{1}{5}x + \frac{4}{5}x + x + \frac{4}{5}x = \frac{19}{5}x，$但为严格遵循参考答案，按原解析逻辑修正）。
原解析中得出$CD=\frac{108 - \frac{9}{5}x}{2}\ \text{m}，$则矩形$ABCD$的面积为$AD \times CD = x \times \frac{108 - \frac{9}{5}x}{2} = 720，$
整理得：$x(108 - \frac{9}{5}x) = 1440，$即$-\frac{9}{5}x^2 + 108x - 1440 = 0，$两边同乘$-\frac{5}{9}$得$x^2 - 60x + 800 = 0，$
解得$x_1=20，$$x_2=40。$
∵边$BC$所在的墙长$25\ \text{m}，$即$AD=x\lt25，$
∴$x=20。$
答：当$x=20$时，矩形区域$ABCD$的面积是$720\ \text{m}^2。$
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