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B
D
$\sqrt{3}a$
7
2
证明：由正五边形$ABCDE$知，每个顶角的度数为$108^\circ，$
在$\triangle BCD$中，$BC = CD，$
$\therefore \angle CBD=\angle CDB=(180^\circ - 108^\circ)\div2 = 36^\circ，$
$\therefore \angle ABD=\angle ABC - \angle CBD=108^\circ - 36^\circ=72^\circ，$
$\therefore \angle ABD+\angle A=72^\circ + 108^\circ=180^\circ，$
$\therefore AE// BD，$
同理，$AB// CE，$
$\therefore$四边形$ABPE$是平行四边形，
又$\because AB = AE，$
$\therefore$四边形$ABPE$是菱形。
【答案】：
B

【解析】：
设圆的半径为$R$。
对于圆的内接正三角形：边长$a_3 = 2R\sin\frac{\pi}{3} = 2R×\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}R$。
对于圆的内接正方形：边长$a_4 = 2R\sin\frac{\pi}{4} = 2R×\frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}R$。
对于圆的内接正六边形：边长$a_6 = 2R\sin\frac{\pi}{6} = 2R×\frac{1}{2} = R$。
所以边长之比为$a_3:a_4:a_6 = \sqrt{3}R:\sqrt{2}R:R = \sqrt{3}:\sqrt{2}:1$。
B
【答案】：
D

【解析】：
设等边三角形的边长为$a$。
其高$h = \frac{\sqrt{3}}{2}a$。
外接圆半径$R = \frac{\sqrt{3}}{3}a$。
内切圆半径$r = \frac{\sqrt{3}}{6}a$。
则$r:R:h = \frac{\sqrt{3}}{6}a : \frac{\sqrt{3}}{3}a : \frac{\sqrt{3}}{2}a = 1:2:3$
D
【答案】：
$\sqrt{3}a$

【解析】：
正六边形螺帽的扳手开口$b$为其对边距离。正六边形可分割为六个等边三角形，边长为$a$，每个内角为$120^\circ$。连接对边顶点，构成等腰三角形，腰长为$a$，顶角$120^\circ$。作底边上的高，将其分为两个含$60^\circ$角的直角三角形，高为$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，对边距离$b=2×\frac{\sqrt{3}}{2}a=\sqrt{3}a$。
$\sqrt{3}a$
【答案】：
7

【解析】：
正五边形每个内角为$\frac{(5 - 2)×180^\circ}{5} = 108^\circ$，每个外角为$180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$。圆环一周为$360^\circ$，所需五边形总数为$\frac{360^\circ}{72^\circ} = 5$个。已排好3个，还需$10 - 3 = 7$个。
7
【答案】：
2

【解析】：
连接$OA$，$OB$。
$\because \angle C = 30^\circ$，
$\therefore \angle AOB = 2\angle C = 60^\circ$。
$\because OA = OB$，
$\therefore \triangle AOB$为等边三角形，$OA = AB = 1$，即$\odot O$半径$r = 1$。
设$\odot O$的内接正方形边长为$a$，则正方形对角线长为$2r = 2$。
由勾股定理：$a^2 + a^2 = 2^2$，解得$a^2 = 2$。
故$\odot O$的内接正方形面积为$2$。
$2$
证明：由正五边形ABCDE知，每个顶角的度数为108°，
在△BCD中，BC=CD
∴∠CBD=∠CDB=(180°-108°)÷2=36°
∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=108°-36°=72°
∴∠ABD+∠A=72°+108°=180°
∴AE//BD，
同理，AB//CE
∴四边形ABPE是平行四边形
又∵AB=AE
∴四边形ABPE是菱形
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