解：圆锥的母线长：
$\sqrt{20^2 + (40\sqrt{2})^2} = 60\ \text{cm}$
设这个圆锥展开后的圆心角为$n^\circ，$则
$\frac{n\pi \times 60}{180} = 2\pi \times 20$
解得，$n = 120$
方案一：
将扇形的对称轴与矩形的一边平行放置，扇形的两个半径端点分别在矩形的一组对边上。
已知$OM = ON = 60\ \text{cm}，$$\angle MON = 120^\circ。$
过点$O$作$OB \perp MN$于点$B，$则$\angle MOB = 60^\circ。$
在$\text{Rt}\triangle OBM$中，$BM = OM \cdot \sin 60^\circ = 60 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}\ \text{cm}，$所以$MN = 2BM = 60\sqrt{3}\ \text{cm}。$
矩形的长为$60\sqrt{3}\ \text{cm}，$宽为母线长$60\ \text{cm}，$面积为：
$60 \times 60\sqrt{3} = 3600\sqrt{3}\ \text{cm}^2$
方案二：
将扇形的一条半径与矩形的一边重合，扇形的弧的一个端点在矩形的对边上。
已知$OM = 60\ \text{cm}，$$\angle MON = 120^\circ，$矩形的宽为母线长$60\ \text{cm}。$
过点$N$作$NG \perp OM$交$OM$的延长线于点$G，$则$\angle NOG = 60^\circ。$
$OG = OM + MG = 60 + 60 \times \cos 60^\circ = 60 + 30 = 90\ \text{cm}，$即矩形的长为$90\ \text{cm}。$
面积为：
$90 \times 60 = 5400\ \text{cm}^2$
比较两种方案的面积：$5400 ＜ 3600\sqrt{3}$（因为$\sqrt{3} \approx 1.732，$$3600\sqrt{3} \approx 6235.2$），所以方案二用料最少。此时所需矩形铁皮的长为$90\ \text{cm}，$宽为$60\ \text{cm}。$
