设扇形 $ AOB $ 的半径为 $ 2r 。$
步骤1：计算扇形 $ AOB $ 的面积
扇形 $ AOB $ 的圆心角为 $ 90^\circ $（即 $ \frac{\pi}{2} $ 弧度），半径为 $ 2r ，$其面积为：
$S_{\text{扇形}AOB} = \frac{1}{4} \pi (2r)^2 = \pi r^2$
步骤2：确定点 $ E $ 的坐标及相关几何量
$ C $ 是 $ AO $ 的中点，故 $ OC = r 。$
$ CE \perp AO ，$设 $ E $ 的坐标为 $ (x, y) ，$则 $ x = OC = r 。$
由于 $ E $ 在扇形 $ AOB $ 上，满足 $ x^2 + y^2 = (2r)^2 ，$代入 $ x = r $ 得：
$ r^2 + y^2 = 4r^2 \implies y = \sqrt{3}r \quad (\text{取正值}) $
因此 $ CE = \sqrt{3}r ，$$ ED \perp OB ，$则 $ OD = y = \sqrt{3}r ，$$ ED = x = r 。$
步骤3：计算阴影部分面积
阴影部分由直角三角形 $ OCE $ 和扇形 $ OEB $ 与直角三角形 $ ODE $ 的面积差组成：
1. 三角形 $ OCE $ 的面积：
$ S_{\triangle OCE} = \frac{1}{2} \times OC \times CE = \frac{1}{2} \times r \times \sqrt{3}r = \frac{\sqrt{3}}{2}r^2 $
2. 扇形 $ OEB $ 的面积：
$ \angle EOB = \arcsin\left(\frac{ED}{OE}\right) = \arcsin\left(\frac{r}{2r}\right) = 30^\circ = \frac{\pi}{6} $ 弧度，
$ S_{\text{扇形}OEB} = \frac{1}{2} \times (2r)^2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi r^2}{3} $
3. 三角形 $ ODE $ 的面积：
$ S_{\triangle ODE} = \frac{1}{2} \times OD \times ED = \frac{1}{2} \times \sqrt{3}r \times r = \frac{\sqrt{3}}{2}r^2 $
4. 阴影部分面积：
$ S_{\text{阴影}} = S_{\triangle OCE} + \left(S_{\text{扇形}OEB} - S_{\triangle ODE}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}r^2 + \left(\frac{\pi r^2}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}r^2\right) = \frac{\pi r^2}{3} $
步骤4：计算概率
点 $ P $ 落在阴影部分的概率为阴影面积与扇形面积之比：
$\text{概率} = \frac{S_{\text{阴影}}}{S_{\text{扇形}AOB}} = \frac{\frac{\pi r^2}{3}}{\pi r^2} = \frac{1}{3}$
答案：$\frac{1}{3}$
