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解：设轮船最初遇到台风的时间为$x\ \mathrm{h}$后。
根据题意，轮船以$20\ \mathrm{n\ mile/h}$的速度由西向东航行，$x\ \mathrm{h}$后轮船与点$A$的距离为$20x\ \mathrm{n\ mile}；$台风中心以$40\ \mathrm{n\ mile/h}$的速度由南向北移动，$x\ \mathrm{h}$后台风中心与点$B$的距离为$40x\ \mathrm{n\ mile}，$此时台风中心与点$A$的距离为$(100 - 40x)\ \mathrm{n\ mile}。$
轮船与台风中心的距离满足勾股定理，可得方程：
$(100 - 40x)^2 + (20x)^2 = (20\sqrt{10})^2$
展开并化简得：
$10000 - 8000x + 1600x^2 + 400x^2 = 4000$
$2000x^2 - 8000x + 6000 = 0$
两边同时除以$2000$：
$x^2 - 4x + 3 = 0$
解得$x_1 = 1，$$x_2 = 3$（舍去）。
因此，轮船会遇上台风，最初遇到台风的时间为$1\ \mathrm{h}$后。
解：
(1)点E在BF上；
(2)设补给船航行了$x$海里。根据题意，得
$x^2-(300-2x)^2=100^2$
展开并整理得：$x^2 - (90000 - 1200x + 4x^2) = 10000$
$x^2 - 90000 + 1200x - 4x^2 = 10000$
$-3x^2 + 1200x - 100000 = 0$
两边同时除以$-1$得：$3x^2 - 1200x + 100000 = 0$
使用求根公式$x = \frac{1200 \pm \sqrt{1200^2 - 4 \times 3 \times 100000}}{2 \times 3}$
$\sqrt{1440000 - 1200000} = \sqrt{240000} = 200\sqrt{6}$
则$x = \frac{1200 \pm 200\sqrt{6}}{6} = \frac{600 \pm 100\sqrt{6}}{3} = 200 \pm \frac{100\sqrt{6}}{3}$
因为$x = 200 + \frac{100\sqrt{6}}{3}$不符合实际情况，舍去，所以$x = 200 - \frac{100\sqrt{6}}{3}$
∴补给船航行了$(200 - \frac{100}{3}\sqrt{6})$海里。
解：设点D出发$ t $秒时，四边形DFCE的面积为$ 20 \, \text{cm}^2 。$
由题意得：$ AD = 2t \, \text{cm} ，$$ DB = (12 - 2t) \, \text{cm} 。$
∵$ \angle B = 90^\circ ，$$ AB = BC = 12 \, \text{cm} ，$
∴$ \triangle ABC $是等腰直角三角形，$ \angle A = \angle C = 45^\circ 。$
∵$ DE // BC ，$$ DF // AC ，$
∴$ \triangle ADE $是等腰直角三角形，四边形DFCE是平行四边形，$ \triangle DBF $是等腰直角三角形。
∴$ DE = AD = 2t \, \text{cm} ，$$ BF = DB = (12 - 2t) \, \text{cm} 。$
∴$ FC = BC - BF = 12 - (12 - 2t) = 2t \, \text{cm} 。$
∵DB是平行四边形DFCE的高，
∴$ S_{\text{四边形}DFCE} = FC \cdot DB = 2t(12 - 2t) 。$
依题意得：$ 2t(12 - 2t) = 20 ，$
整理得：$ t^2 - 6t + 5 = 0 ，$
解得：$ t_1 = 1 ，$$ t_2 = 5 。$
∵当$ t = 1 $时，$ DB = 12 - 2 \times 1 = 10 ＞ 0 ；$当$ t = 5 $时，$ DB = 12 - 2 \times 5 = 2 ＞ 0 ，$均符合题意。
答：点D出发1秒或5秒时，四边形DFCE的面积为$ 20 \, \text{cm}^2 。$
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