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 解：在$\odot O$中，

 $\because AB = AC，$

 $\therefore \angle B = \angle C。$

 $\because \angle A = 40^{\circ}，$且$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}，$

 $\therefore \angle B = \frac{180^{\circ} - \angle A}{2} = \frac{180^{\circ} - 40^{\circ}}{2} = 70^{\circ}。$

 AC与BD相等．理由如下：

 因为AB=DC，

 所以$\widehat{AB}=\widehat{CD}，$

 即有$\widehat{AB}+\widehat{BC}=\widehat{BC}+\widehat{CD}，$

 即$\widehat{AC}=\widehat{BD}，$

 所以AC=BD．

 $\widehat{BD}$与$\widehat{DE}$相等，理由如下：

 连接$OD$、$OE，$如图所示。

 $\because \triangle ABC$是等边三角形，

 $\therefore \angle B = \angle C = 60^\circ。$

 又$\because OB = OD，$$OC = OE，$

 $\therefore \triangle BOD$和$\triangle COE$都是等边三角形，

 $\therefore \angle BOD = \angle COE = 60^\circ。$

 $\because \angle BOC = 180^\circ$（平角定义），

 $\therefore \angle DOE = \angle BOC - \angle BOD - \angle COE = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ。$

 $\therefore \angle BOD = \angle DOE = 60^\circ，$

 $\therefore \widehat{BD} = \widehat{DE}$（在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）。

解： B D 与 D E 相等，理由如下
连接 O D 、 O E，如图
$\because \triangle A B C $是等边三角形
$\therefore \angle B=\angle C=60^{\circ}$
又$\because O B=O D，$ O C=O E
$\therefore \triangle B O D $和$ \triangle C O E $都是等边三角形
$\therefore \angle B O D=\angle C O E=60^{\circ}$
$\therefore \angle D O E=60^{\circ}$
$\therefore \angle B O D=\angle C O E=\angle D O E=60^{\circ}$
$\therefore \widehat{B D}=\widehat{D E}$