第121页

信息发布者：
直线AP与⊙O相切，理由如下：
作直径AD与BC交于点E，连接BD、CD。
∵AD为直径，
∴∠ABD=∠ACD=90°（直径所对的圆周角是直角）。
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC \\ AD=AD \end{cases}，$
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC。
又
∵AB=AC，
∴AD⊥BC（等腰三角形三线合一），即∠AEB=90°。
∵AP//BC，
∴∠PAE=∠AEB=90°（两直线平行，内错角相等）。
∴AD⊥AP。
∵AD是⊙O的直径，
∴直线AP与⊙O相切（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）。
解：作$OM \perp AB$于点$M，$连接$OA。$
因为$CD$为$\odot O$的直径，$DE = 9\ \text{cm}，$$CE = 3\ \text{cm}，$所以圆的直径$CD=DE + CE=9 + 3=12\ \text{cm}，$则圆半径$OA=\frac{1}{2}CD = 6\ \text{cm}。$
圆心$O$为$CD$中点，所以$OD=\frac{1}{2}CD = 6\ \text{cm}，$则$OE=DE - OD=9 - 6=3\ \text{cm}。$
在直角$\triangle OEM$中，$\angle CEB = 45^\circ，$$\angle OME = 90^\circ，$所以$\angle MOE = 45^\circ，$则$OM = OE \cdot \sin 45^\circ=3\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\ \text{cm}。$
在直角$\triangle OAM$中，根据勾股定理：$AM=\sqrt{OA^2 - OM^2}=\sqrt{6^2 - \left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2}=\sqrt{36 - \frac{9\times2}{4}}=\sqrt{36 - \frac{9}{2}}=\sqrt{\frac{72 - 9}{2}}=\sqrt{\frac{63}{2}}=\frac{3\sqrt{14}}{2}\ \text{cm}。$
因为$OM \perp AB，$由垂径定理可知$M$为$AB$中点，所以$AB = 2AM=2\times\frac{3\sqrt{14}}{2}=3\sqrt{14}\ \text{cm}。$
答：弦$AB$的长为$3\sqrt{14}\ \text{cm}。$
解：连接BF
因为四边形ABCD是矩形，所以∠CBA=∠BAD=90°。
因为以点B为圆心，BC长为半径作弧，所以BF=BC=2cm，BE=BC=2cm。
在Rt△BAF中，∠BAF=90°，AB=1cm，BF=2cm，由勾股定理得：
$AF^2=BF^2-BA^2=2^2-1^2=3，$所以$AF=\sqrt{3}\ \text{cm}。$
因为在Rt△BAF中，AB=1cm，BF=2cm，所以∠AFB=30°，则∠ABF=60°。
扇形EBF的面积为：$S_{\text{扇形EBF}}=\frac{60\times\pi\times2^2}{360}=\frac{2}{3}\pi\ \text{cm}^2。$
△BAF的面积为：$S_{\triangle BAF}=\frac{1}{2}\times BA\times AF=\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^2。$
所以阴影部分的面积为：$S_{\text{阴影}}=S_{\text{扇形EBF}}-S_{\triangle BAF}=\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\ \text{cm}^2。$
答：阴影部分的面积为$(\frac{2\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2})\ \text{cm}^2。$
解:连接BF
因为四边形ABCD是矩形
所以∠CBA=∠BAD=90°
因为∠BAF=90°
所以BF^{2}=BA^{2}+AF^{2}
因为BF=BC=2，AB=1
BF^{2}=BA^{2}+AF^{2}
所以AF^{2}=BF^{2}-BA^{2}=2^{2}-1^{2}
=3
所以$AF= \sqrt{3}$
因为 AB=1，$AF= \sqrt{3}$
∠BAD=90°
所以$ S_{△BAF}= \frac{1}{2}BA·AF= \frac{\sqrt{3}}{2}$
因为AB=1，BF=2
∠BAF=90°
所以∠BFA=30°
所以∠ABF=60°
因为∠ABF=60°
BE=BF=2
所以$S_{扇形EBF}=\frac{60×π×2^{2}}{360}= \frac{2}{3}π$
所以S_{阴影}=S_{扇形EBF}-S_{△BAF}
$= \frac{2π}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2}(cm^{2})$
即扇形EBC被矩形所截剩余部分
的面积S为$(\frac{2π}{3}- \frac{\sqrt{3}}{2})cm^{2}$
上一页 下一页