解:$(1)$在$∆ABC$中,$AB=AC,$$∠BAC=70°$
∴$∠B=∠C$
∵$∠B+∠C+∠BAC=180°$
∴$∠C=\frac {180°-∠BAC}2=55°$
∵$D$是边$BC$的中点,$AB=AC$
∴$AD$平分$∠BAC,$∴$∠CAD=\frac 12∠BAC=35°$
证明:$(2)$∵$EA=ED,$∴$∠EAD=∠EDA$
∵$∠BAD=∠EAD$
∴$∠EDA=∠BAD,$∴$ED//AB$