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证明：​$(1)$​∵​$∆ABC$​是等边三角形
∴​$∠ABC=∠ACB=60°$​
∵​$P D//AB，$​∴​$∠P DE=∠ABC=60°$​
∵​$PE//AC，$​∴​$∠PED=∠ACB=60°$​
∴​$∆P DE$​的三个角都是​$60°$​
∴​$∆P DE$​是等边三角形
解：​$(2)BD=DE=EC，$​理由：
∵​$BP $​平分​$∠ABC，$​∴​$∠P BD=\frac 12∠ABC=30°$​
∵​$P D//AB，$​∴​$∠BP D=∠ABP=30°$​
∴​$∠P BD=∠BP D，$​∴​$BD=P D$​
同理，​$CE=PE$​
∵​$∆P DE$​是等边三角形，∴​$P D=DE=PE$​
∴​$BD=DE=EC$​
解：​$(1)$​设点​$P，$​​$Q {运动}x$​秒时重合
根据题意得​$1·x+12=2·x，$​解得​$x=12$​
​$ (2)$​设点​$P，$​​$Q {运动}t {秒时}，$​​$∆APQ $​是等边三角形
此时点​$Q $​在​$AB$​上，​$AP=t，$​
​$AQ=AB-BQ=12-2\ \mathrm {t}$​
∵​$∆APQ $​是等边三角形
∴​$AP=AQ，$​即​$t=12-2\ \mathrm {t}，$​解得​$t=4$​
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