解：因为直线$l$平行于$x$轴且过点$C(0,1)$，$\triangle ABC$关于直线$l$对称，点$A$的坐标是$(4,4)$。根据关于平行于$x$轴的直线对称的点的纵坐标的性质：设点$A(x_1,y_1)$，对称直线$y = a$，则其对称点$B(x_1,2a - y_1)$。这里$a = 1$，$y_1=4$，所以点$B$的纵坐标为$2×1 - 4=-2$，横坐标不变，即$B(4,-2)$。那么$AB$的长度为$\vert4 - (-2)\vert=6$。点$C$到$AB$的距离（也就是$AB$边上的高）为$4$（$A$或$B$的横坐标的绝对值）。根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，这里底为$AB = 6$，高为$4$。所以$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×4 = 12$。综上，$\triangle ABC$的面积是$12$。
1. （1） 解：已知$A(0,0)$，$B(3,0)$，则$AB$的长度为$\vert AB\vert=\sqrt{(3 - 0)^2+(0 - 0)^2}=3$（根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，这里$y_1 = y_2 = 0$，也可直接由坐标得出$AB$在$x$轴上，$AB$的长度为$3-0 = 3$）。 设$C(0,y)$（$y\gt0$），根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，对于$\triangle ABC$，以$AB$为底，$C$到$AB$（$x$轴）的距离$\vert y\vert$为高。 已知$S_{\triangle ABC}=6$，由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB×\vert y\vert$，把$AB = 3$代入可得： $\frac{1}{2}×3× y=6$（因为$y\gt0$，所以$\vert y\vert=y$）。 方程两边同时乘以$\frac{2}{3}$，$y = 4$。 所以点$C$的坐标为$(0,4)$。 2. （2） 已知$A(0,0)$，$B(3,0)$，$C(0,4)$。 若$A$，$B$，$C$，$D$构成长方形，根据长方形的性质（对边平行且相等）： 因为长方形$ABCD$中，$AB// CD$，$AD// BC$，$AB = CD$，$AD = BC$。 由$A(0,0)$，$B(3,0)$，$C(0,4)$，则$D$点坐标为$(3,4)$（$AB$在$x$轴上，$AC$在$y$轴上，$D$点横坐标与$B$点横坐标相同，纵坐标与$C$点纵坐标相同）。 综上，（1）$C(0,4)$；（2）$(3,4)$。
$(2,2)$，$(2,6)$，$(-1,6)$或$(3,2)$，$(3,5)$，$(-1,5)$或$(-1,6)$，$(-4,6)$，$(-4,-2)$或$(-5,5)$，$(-5,-2)$，$(-1,5)$或$(2,2)$，$(2,-2)$，$(-1,-2)$或$(3,2)$，$(3,-1)$，$(-1,-1)$或$(-4,2)$，$(-4,-2)$，$(-1,-2)$或$(-5,2)$，$(-5,-1)$，$(-1,-1)$
1. （1） 设直线$AB$的解析式为$y = kx + b$（$k$，$b$为常数）。 把$A(0,0)$，$B(-2,2)$代入$y = kx + b$中： 当$x = 0$，$y = 0$时，$0=k×0 + b$，解得$b = 0$； 当$x=-2$，$y = 2$时，$2=-2k + 0$，解得$k=-1$。 所以直线$AB$的解析式为$y=-x$。 因为$C$是直线$AB$上任意一点，设$C(x,y)$，则$y=-x$，即点$C$的横坐标与纵坐标互为相反数。 2. （2） 根据平移规律“上加下减”（对于$y = f(x)$，向上平移$m$个单位得到$y=f(x)+m$）。 直线$AB$：$y=-x$向上平移$1$个单位长度后，直线$A'B'$的解析式为$y=-x + 1$。 设$C(x,y)$在直线$AB$上，$C'(x',y')$，因为是平移，横坐标不变，即$x' = x$，$y'=y + 1$，又$y=-x$，所以$y'=-x'+1$，即点$C'$的横坐标与纵坐标的和为$1$。 综上，（1）点$C$的横坐标与纵坐标互为相反数；（2）点$C'$的横坐标与纵坐标的和为$1$。
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