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解：
(1)点C的坐标为$(-\frac{3}{2},\frac{1}{2})；$
(2)点A与点B关于点C中心对称；
(3)点A'的坐标为$(2,3)，$点B'的坐标为$(1,-4)。$
解：
(1)在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变化。
连接CG，
∵△ABC为等腰直角三角形，O(G)为其斜边的中点，
∴CG=BG，CG⊥AB，∠ACG=∠B=45°。
∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，
∴∠BGH=∠CGK，
∴△BGH≌△CGK，
∴BH=CK，$S_{\triangle BGH}=S_{\triangle CGK}，$
∴$S_{四边形CHGK}=S_{\triangle CGB}=4，$即面积为定值。
(2)
∵AC=BC=4，BH=x，
∴CH=4-x，CK=x，
由$S_{\triangle GKH}=S_{四边形CHGK}-S_{\triangle CHK}，$得$y=4-\frac{1}{2}x(4-x)，$
∴$y=\frac{1}{2}x^2-2x+4，$
∵0°＜α＜90°，
∴0＜x＜4。
(3)存在，根据题意，$\frac{1}{2}x^2-2x+4=\frac{5}{16}\times8，$解得$x_1=1，$$x_2=3，$
即当$x=1$或$x=3$时，△GKH的面积等于△ABC面积的$\frac{5}{16}。$
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