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证明: (1)

 ∵线段AH绕点A逆时针旋转90°得到AG，

 ∴AH=AG，∠HAG=90°。在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

 ∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG。

 ∴△AHB≌△AGC(SAS)。

 (2)①

 ∵E，F是AB，AC中点，

 ∴EF是△ABC中位线，EF∥BC，AE=AF=2。由

 (1)△AHB≌△AGC得AG=AH，∠GAC=∠HAB。

 ∵∠EAF=45°，∠HAG=90°，

 ∴∠GAF=∠HAG - ∠EAF - ∠EAH=45° - ∠EAH。又∠EHA=∠EAH + 45°，

 ∴△AEH≌△AFG(SAS)，∠AFG=∠AEH=135°。

 ∵∠AFE=45°，

 ∴∠HFG=∠AFG - ∠AFE=90°。

 ②当EH=2或$\sqrt{2}$时，△AQG为等腰三角形。

$解:BB'=2BO=2\sqrt {OC^{2}+BC^{2}}=2\sqrt {5}\ \mathrm {cm}$

证明: 将△AND绕点A顺时针旋转，使边AD与AB重合，点N旋转到点Q位置，连接MQ。则△AQB≌△AND，

 ∴∠BAQ=∠NAD，BQ=DN。

 ∵∠MAN=45°，∠BAD=90°，

 ∴∠BAM+∠NAD=45°，即∠BAQ+∠BAM=45°=∠MAQ=∠MAN。又

 ∵AQ=AN，AM=AM，

 ∴△AQM≌△ANM，

 ∴MQ=MN。

 ∵∠ABQ=∠ADN=45°，∠ABD=45°，

 ∴∠MBQ=90°。在Rt△MBQ中，BQ²+BM²=MQ²，即DN²+BM²=MN²。

 证明:(1)由旋转得AE=AB，∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°，EF=BC=AD。

 ∵∠AEB=∠ABE，∠ABE+∠EDA=90°，∠AEB+∠DEF=90°，

 ∴∠EDA=∠DEF。又DE=ED，

 ∴△AED≌△FDE(SAS)，FD=AE。

 ∵AE=AB=CD，

 ∴FD=CD。

 (2)当α=60°或300°时，GC=GB。理由：①当G在AD右侧，取BC中点H，GH⊥BC，四边形ABHM是矩形，AM=BH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$AG，

 ∴GM垂直平分AD，△ADG是等边三角形，∠DAG=60°，α=60°；

②当G在AD左侧，同理△ADG是等边三角形，∠DAG=60°，α=360°-60°=300°。