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$ 解:（1） $
$ ∵AB是直径， $
∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$cm；
$ ∵CD平分∠ACB， $
$ ∴∠ACD=∠BCD=45°， $
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}，$
$ ∴AD=BD， $
$ ∵AB是直径， $
∴∠ADB=90°，设AD=BD=x，则$x^2+x^2=10^2，$解得$x=5\sqrt{2}，$即BD=$5\sqrt{2}$cm；
（2）$S_{四边形ADBC}=S_{△ABC}+S_{△ABD}$=$\dfrac{1}{2}\times6\times8+\dfrac{1}{2}\times5\sqrt{2}\times5\sqrt{2}=24+25=49$cm²
解: （1）
∵OD⊥AB，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}，$
∴∠DEB=$\dfrac{1}{2}$∠AOD=$\dfrac{1}{2}\times52°=26°；$
（2）在Rt△OAC中，AC=$\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4，$
∵OD⊥AB，
∴AB=2AC=8
（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD=BD，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠E=∠B，
∴∠E=∠C；
（2）
∵∠E=55°，
∴∠C=55°，
∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD=180°-∠E=125°，∠CFD=180°-∠AFD=55°，
∴∠BDF=∠C+∠CFD=55°+55°=110°
$解:在PA上截取PE=BP,则△PBE是等边三角形$
$则BE=PE=PB$
$∵∠AEB=120°,∠CPB=120°$
$∴∠AEB=∠CPB=120°$
$∵△ABC是正三角形,∴AB=BC$
$∴△ABE≌△CBP(\mathrm {AAS})$
$∴AE=PC$
$∵PA=AE+PE$
$∴PA=PB+PC$
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