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解：
(1) 因为 $OE \perp AB$，所以 $\angle AOE = 90^{\circ}$。
因为$\angle COE = 54^{\circ}$，
所以 $\angle AOC = \angle AOE + \angle COE = 90^{\circ} + 54^{\circ} = 144^{\circ}$。
因为 $OF$ 平分 $\angle AOC$，
所以 $\angle COF = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} × 144^{\circ} = 72^{\circ}$。
又因为 $\angle DOF + \angle COF = 180^{\circ}$，
所以 $\angle DOF = 180^{\circ} - \angle COF = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$。
(2) 设 $\angle EOF = x^{\circ}$。
因为 $\angle COE : \angle EOF = 2 : 1$，
所以 $\angle COE = 2x^{\circ}$。
所以 $\angle COF = \angle COE + \angle EOF = 3x^{\circ}$。
因为 $OF$ 平分 $\angle AOC$，
所以 $\angle AOF = \angle COF = 3x^{\circ}$。
因为 $\angle AOF + \angle EOF = \angle AOE = 90^{\circ}$，
所以 $3x + x = 90$，解得 $x = 22.5$。
所以 $\angle COF = 3 × 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ}$。
所以 $\angle DOF = 180^{\circ} - \angle COF = 180^{\circ} - 67.5^{\circ} = 112.5^{\circ}$。
(1)解：设∠AOC=2x，∠COD=3x，∠DOB=4x。
∵∠AOB=144°，
∴2x + 3x + 4x=144°，解得x=16°。
∴∠AOC=32°。
∵OM平分∠AOC，
∴∠COM=1/2∠AOC=16°。
(2)解：
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠COM=x，∠DON=2x。
∵OM⊥ON，
∴∠MON=6x=90°，解得x=15°。
∴∠COD=3x=45°。
解：OD⊥AB。理由如下：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOC + ∠BOC=180°。设∠AOC=x，则∠BOC=3x，x + 3x=180°，解得x=45°。
∵OC平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠AOC=90°。
∴OD⊥AB。
(1)证明：
∵OD平分∠AOC，∠AOC=40°，
∴∠DOC=20°。
∵∠COE=70°，
∴∠DOE=20° + 70°=90°。
∴DO⊥OE。
(2)OE平分∠BOC。理由：∠BOC=180° - 40°=140°，∠BOE=140° - 70°=70°=∠COE，
∴OE平分∠BOC。
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