解:由题意知$∠AOP=(2\ \mathrm {t})°,$$∠BOQ=t°,$
$∠POQ=(120−3\ \mathrm {t})°,$$∠AOQ=(120−t)°. $
分三种情况讨论如下:
若$∠AOP=2∠POQ,$则$2\ \mathrm {t}=2(120−3\ \mathrm {t}),$$8\ \mathrm {t}=240,$
解得$t=30;$
若$∠POQ=2∠AOP,$则$120−3\ \mathrm {t}=2×2\ \mathrm {t},$$7\ \mathrm {t}=120,$
解得$t=\frac {120}7;$
若$∠AOQ=2∠AOP,$则$120−t=2×2\ \mathrm {t},$$5\ \mathrm {t}=120,$
解得$t=24. $
又因为$0<t≤40,$
所以符合条件的$t_{值有}3$个,
它们分别是$24$或$30$或$\frac {120}7.$