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$ 3+\sqrt{3} $
解：∵​$AD$​是​$△ABC$​的高，且​$BD=2CD=6$​
∴​$CD=3，$​​$BC=9$​
∵​$tanC=\frac {AD}{CD}=2$​
∴​$AD=6$​
在​$Rt△ABD$​中，​$AB=\sqrt {AD^2+BD^2}=\sqrt {6^2+6^2}=6\sqrt 2$​
解：过点​$A$​作​$AD⊥BC，$​交​$BC$​于点​$D$​

则​$BD=CD，$​​$∠BAD=\frac 12∠BAC=40°$​
∴​$BD=10\ \mathrm {sin}40°，$​​$AD=10\ \mathrm {cos}40°，$​​$BC=2BD=2×10\ \mathrm {sin}40°≈12.86$​
​$S_{△ABC}=\frac 12BC ·AD=\frac 12×20\ \mathrm {sin}40°×10\ \mathrm {cos}40°≈49.24$​
解：如图，过点​$A$​作​$AD⊥BC$​于点​$D$​

​$(1)$​∵​$AB=AC$​
∴​$BD=\frac 12BC=12$​
∴​$cosB=\frac {BD}{AB}=\frac 45$​
∴​$∠B≈37°$​
∴​$∠C=∠B=37°$​
​$∠A=180°-37°-37°=106°$​
​$(2)AD=\sqrt {AB^2-BD^2}=9$​
∴​$S_{△ABC}=\frac 12BC×AD=108$​
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