解：（1）分别过点$D$、$C$作$DM\perp AB$、$CN\perp AB，$垂足分别为$M$、$N。$
∵背水坡$AD$的坡度$i=1:0.5，$
∴在$\text{Rt}\triangle ADM$中，$\tan\angle DAB=\frac{DM}{AM}=2。$
设$AM=x\ \text{m}(x＞0)，$则$DM=2x\ \text{m}。$
易得四边形$DMNC$是矩形，
∴$DC=MN=3\ \text{m}，$$DM=CN=2x\ \text{m}。$
∵在$\text{Rt}\triangle BNC$中，$\tan\angle ABC=\frac{CN}{BN}，$
∴$BN=\frac{CN}{\tan\angle ABC}=\frac{2x}{\tan37^\circ}\approx\frac{8}{3}x\ \text{m}。$
由$x + 3+\frac{8}{3}x=14，$得$x=3，$
∴$DM=6\ \text{m}。$
∴坝高为$6\ \text{m}。$
（2）过点$F$作$FH\perp AB$于点$H，$过点$D$作$DM\perp AB$于点$M，$则$FH=DM，$$DF=HM。$
设$DF=y\ \text{m}(y＞0)，$则$AE=2y\ \text{m}。$
由（1），知$DM=6\ \text{m}，$$AM=3\ \text{m}，$
∴$FH=6\ \text{m}，$$EH=AM + AE - HM=3 + 2y - y=(3 + y)\ \text{m}。$
∴$BH=AB + AE - EH=14 + 2y-(3 + y)=(11 + y)\ \text{m}。$
∵$EF\perp BF，$$FH\perp AB，$
∴易得$\triangle EFH\sim\triangle FBH。$
∴$\frac{FH}{BH}=\frac{EH}{FH}，$即$FH^2=BH\cdot EH。$
∴$6^2=(11 + y)(3 + y)，$即$y^2 + 14y - 3=0，$
解得$y_1=-7 + 2\sqrt{13}，$$y_2=-7 - 2\sqrt{13}$（不合题意，舍去）。
∴$DF=(2\sqrt{13}-7)\ \text{m}$
